
\chapterimage{brocoli}



\chapter{Tapis, arbres, brocolis et lapins}






\section{Polygones de \textsc{Sierpinski}}

\ill{Waclaw \textsc{Sierpinski}  (1882 - 1969) fut  un mathématicien polonais
qui travailla sur des domaines mathématiques très ardus~:~fondements des
mathématiques,  construction  axiomatique  des ensembles,  hypothèse  du
continu, topologie, théorie des nombres...

Il a  également travaillé sur  les premiers objets  fractals qu'étudiera
plus tard  Benoît \textsc{Mandelbrot}, mathématicien  français d'origine
polonaise connu pour ses travaux dans ce domaine.}{sierpinski}

\subsection{Jouons aux dés}

Prenez un  dé à  6 faces,  un triangle ABC  et un  point G  quelconque à
l'intérieur du triangle.

Vous lancez le dé~:

\begin{itemize}
\item si la face supérieure est 1  ou 2, vous faites une petite croix au
  niveau du milieu de G et de A~;
\item si la face supérieure est 3  ou 4, vous faites une petite croix au
  niveau du milieu de G et de B~;
\item si la face supérieure est 5  ou 6, vous faites une petite croix au
  niveau du milieu de G et de C~;
\end{itemize}


Ah, zut, on n'a pas de dé dans la salle d'info...mais on a Maple.

\begin{itemize}
\item \verb+rand()+  renvoie  un  entier   aléatoirement  choisi  entre  0  et
$\numprint{999999999999}$~;
\item  \verb+rand(n..p)+ renvoie  un entier  aléatoirement  choisi entre
  $n$ et $p$ inclus.
\end{itemize}


\begin{lstlisting}[caption={}]
> dede:=proc(n)
  local P,r,t,d,G,L,k;
  P:=[[0,0],[1,0],[0.5,0.5*sqrt(3)]];
  r:=10.^(-12)*rand();
  t:=r();
  d:=rand(1..3);
  G:=t^2*P[1]+2*t*(1-t)*P[2]+(1-t)^2*P[3];
  
  ...
  
  end:
\end{lstlisting}

Expliquez le début de cette procédure, achevez-la et testez-la. 



\subsection{Étoiles et espaces}


La  commande \verb+array(1..n,1..m)+  construit un  tableau  de \verb+n+
lignes et \verb+m+ colonnes.

Que fait cette procédure~:

\begin{lstlisting}[caption={}]
> mystere:=proc(n)
  local T,j,i;
  T:=array(1..n,1..n);
  for j from 1 to n do
    for i from 1 to n do 
      if j>i then T[i,j]:=``;
      fi;
    od;
  od;
  print(T);
  end:
\end{lstlisting}


Transformez-la un peu pour obtenir ceci avec $n=10$ par exemple~:


\begin{Verbatim}
        1                                                                                            
        1    1                                                                                       
        1    2    1                                                      
        1    3    3     1                                      
        1    4    6     4      1                               
        1    5    10    10     5      1                        
        1    6    15    20    15      6     1                  
        1    7    21    35    35     21     7     1            
        1    8    28    56    70     56     28    8     1      
        1    9    36    84    126    126    84    36    9    1 

\end{Verbatim}
     

Complétez cette dernière procédure  afin de remplacer chaque nombre pair
par  une  espace \verb+`  `+  et chaque  nombre  impair  par une  étoile
\verb+`*`+. Lancez-la pour $n=48$~: incroyable, non~?


\subsection{Tapis}

Considérons les huit transformations de $\bbc$ dans $\bbc$ suivantes :
$$ T_1(z)=\frac{1}{3} z \qquad T_2(z)=\frac{1}{3} z+\frac{1}{3} \qquad T_3(z)=\frac{1}{3}
z+\frac{2}{3}\qquad T_4(z)=\frac{1}{3} z+\frac{2}{3} +\frac{1}{3} i$$

$$T_5(z)=\frac{1}{3} z+\frac{2}{3} +\frac{2}{3} i \qquad T_6(z)=\frac{1}{3} z+\frac{1}{3}+\frac{2}{3} i\qquad
T_7(z)=\frac{1}{3} z+\frac{2}{3} i\qquad T_8(z)= \frac{1}{3} z+\frac{1}{3} i$$

Soit $E_0$ le carré unité.

\begin{itemize}
\item Dessinez $E_0$~;

\item Dessinez $E_1=T_1(E_0)\cup T_2(E_0)\cup\cdots \cup T_8(E_0)$~;

\item Identifiez les $T_k$.
\end{itemize}


Comment obtenir ce joli dessin avec MAPLE~?



\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=0.4\linewidth,width=0.4\linewidth,keepaspectratio=false,angle=270]{TDfrac03}
\end{center}
\end{figure}

Une possibilité est d'introduire une liste d'applications~:


\begin{lstlisting}[caption={}]
T:=[z->z/3,z->z/3+1/3,z->z/3+2/3,z->z/3+1/3+2*I/3,z->z/3+2/3+2*I/3,z->z/3+2/3+I/3,z->z/3+I/3,z->z/3+2*I/3];   
\end{lstlisting}

\subsection{Les mites de \textsc{Sierpinski}}



Monsieur\textsc{ Sierpinski}  avait ramen\'e d'un voyage en Orient un tapis carr\'e de $1$ m\`etre de
c\^ot\'e dont il \'etait tr\`es content. Jusqu'au jour o\`u les mites s'introduisirent chez lui.

En 24 heures, elles d\'evor\`erent dans le tapis un carr\'e de
c\^ot\'e trois fois plus petit, situ\'e exactement au centre du
tapis. En constatant les d\'egats, Monsieur\textsc{ Sierpinski} entra dans
une col\`ere noire~! Puis il se consola en se disant qu'il lui
restait huit petits carr\'es de tapis, chacun de la taille du
carr\'e disparu. Malheureusement, dans les 12 heures qui
suivirent, les mites avaient attaqu\'e les huit petits carr\'es
restants~: dans chacun, elles avaient mang\'e un carr\'e central
encore trois fois plus petit. Et dans les 6 heures suivantes elles
grignot\`erent encore le carr\'e central de chacun des tout petits
carr\'es restants. Et l'histoire se r\'ep\'eta, encore et encore~;
\`a chaque \'etape, qui se d\'eroulait dans un intervalle de temps
deux fois plus petit que l'\'etape pr\'ec\'edente, les mites
faisaient des trous de taille trois fois plus petite...


\begin{itemize} \item 
 Calculer le nombre total de trous dans le tapis de Monsieur \textsc{Sierpinski}
apr\`es $n$ \'etapes. Calculer la surface $S_n$ de tapis qui n'a
pas encore \'et\'e mang\'ee apr\`es $n$ \'etapes. Trouver la
limite de la suite $(S_n)_{n \geq 0}$. Que reste-t-il du tapis \`a
la fin de l'histoire~?

\item Calculer la dur\'ee totale du festin <<~mitique~>>...

\end{itemize}

{\itshape Merci à \href{http://matexo.smai.emath.fr/exemaalt/exos\_individuels/pdf\_navigable/Tapis-de-Sierpinski.pdf}{Frédéric Le Roux}}



\subsection{Dentelle de Varsovie}

Nous voudrions obtenir le joli napperon en dentelle suivant~:

\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=0.4\linewidth,width=0.4\linewidth,keepaspectratio=false,angle=270]{TDfrac02}
\end{center}
\end{figure}

Déterminez le rapport des similitudes qui transforment le grand pentagone en
un des pentagones plus petit.

En  vous  inspirant   de  ce  qui  a  été  fait   pour  le  triangle  de
\textsc{Sierpinski}, faites tracer à MAPLE ce joli napperon.



\smallskip

\emph{En  fait on  peut montrer  que pour  un nombre  $c  \geqslant5$ de
  côtés,       le        rapport       est       de       $\displaystyle
  \frac{1}{2\sum_{k=0}^{\left[\frac{c}{4}\right]}\cos
    \left(\frac{2k\pi}{c}\right)}$}

\section{Végétation récursive}

Analysez cet algorithme~:

\begin{lstlisting}[caption={}]
arbre:=proc(A,B,Rap,Ang,n)
   if n>0 
     then [[Re(A),Im(A)],[Re(B),Im(B)]],seq(arbre(B,B+Rap[q]*exp(Ang[q]*I)*(B-A),Rap,Ang,n-1),q=1..nops(Rap))
     else [[Re(A),Im(A)],[Re(B),Im(B)]] 
   fi
end:
\end{lstlisting}


sachant que 


\begin{lstlisting}[caption={}]
plot([arbre(0,I,[0.7,0.8],[Pi/5,-Pi/5],9)],axes=none,scaling=constrained,color=green);
\end{lstlisting}


donne


\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=0.5\linewidth,width=0.5\linewidth,keepaspectratio=false,angle=270]{arbres01}
\end{center}
\end{figure}



Comment obtenir cette fougère et ce brocolis~?

\begin{minipage}[t]{0.45\linewidth}\vspace{0cm}\begin{flushleft}\includegraphics[height=1.1\linewidth,width=1.3\linewidth,keepaspectratio=false,angle=270]{arbres02}\end{flushleft}\end{minipage}\hspace{0.5cm}\begin{minipage}[t]{0.45\linewidth}\vspace{-0.7cm}
\hspace{5.5cm}
\begin{flushright}\includegraphics[height=1.1\linewidth,width=1.3\linewidth,keepaspectratio=false,angle=270]{arbres03}\end{flushright}\end{minipage}





Ce n'est plus un arbre mais un beau flocon (le flocon de Helge \textsc{ Von
  Koch}(1870-1924))~:~comment le générer avec MAPLE~?


\begin{minipage}[t]{0.45\linewidth}\vspace{0cm}\begin{flushleft}\includegraphics[height=0.8\linewidth]{koch}\end{flushleft}\end{minipage}\hspace{0.5cm}\begin{minipage}[t]{0.45\linewidth}\vspace{-0.7cm}
\hspace{5.5cm}
\begin{flushright}\includegraphics[height=0.9\linewidth,width=0.9\linewidth,keepaspectratio=false,angle=270]{arbres04}\end{flushright}\end{minipage}



% \ill{\begin{figure}
% \begin{center}
%   \includegraphics[height=0.6\linewidth,width=0.5\linewidth,keepaspectratio=false,angle=270]{arbres04}
% \end{center}
% \end{figure}

% }{koch}

\section{Ensembles de \textsc{Julia} et de \textsc{Mandelbrot}}



\ill{Gaston  \textsc{Julia}  (1893  -  1978)  est  un  des  plus  grands
  mathématiciens français. Ses
travaux ont été largement  utilisé par Benoît \textsc{Mandelbrot} (né en
1924) au
début des années 1970. Nous  allons survoler certains de leurs résultats
les plus populaires.


Nous  allons  étudier  les   suites  $(z_n)$  définies  par  $z_0$  et
$z_{n+1}=z_n^2+c$  pour  tout entier  naturel  $n$  avec  $c$ un  nombre
complexe quelconque.

Nous  avons  déjà exploré  une  suite  réelle  semblable lors  de  notre
incursion dans la dynamique des populations.}{gaston-julia}


Le cas $c=0$ est assez simple à étudier~:~faites-le~!


Comment ce que vous avez obtenu est en lien avec cette procédure MAPLE et son
utilisation ?


\begin{lstlisting}[caption={}]
> julia:=proc(x,y)
    global c;
    local z,j;
    z:=evalf(x+I*y);
     for j from 0 to 50 while abs(z)<4 do
       z:=z^2+c
     od;
    j
  end:

> c:=0:

> plot3d(0,-2..2,-1.2..1.2,orientation=[-90,0],grid=[150,150],style=patchnogrid,scaling=constrained,color=julia);
\end{lstlisting}


Je  vous   dois  une  petite   explication  au  sujet  de   la  dernière
instruction. Afin  de gagner du temps,  on utilise une  petite ruse pour
pallier aux carences de MAPLE en géométrie.

On utilise  \verb+plot3d+ avec la fonction $f~:~(x,y)\mapsto  0$ afin de
tracer  le plan  d'équation  $z=0$.  Ses points  sont  colorés selon  la
procédure  \verb+julia+. L'option  \verb+grid+ indique  la taille  de la
grille tracée. On précise également qu'on veut un repère orthonormé, pas
de  maillage  apparent  et  on   place  les  axes  de  coordonnées  dans
l'orientation usuelle.



Testez  différentes  valeurs  de  $c$~:~$-1$,  $0,32+0,043  \mathrm{i}$,
$-0,122561+0,744862 \mathrm{i}$.



Quelles sont vos interprétations~?


\ill{Plutôt  que  de   testez  les  valeurs  de  $c$   une  par  une,  Benoît
\textsc{Mandelbrot}  a cherché  à  représenter las  valeurs  de $c$  qui
faisaient  converger   la  suite  avec   $z_0=0$~:~c'est  l'ensemble  de
\textsc{Mandelbrot}.

Tracez-le~!}{mandelbrot}



\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=0.8\linewidth,width=0.7\linewidth,keepaspectratio=false,angle=270]{julia01}
\end{center}
\end{figure}





%%% Local Variables: 
%%% TeX-master: "PolyMaple10"
%%% End: 
