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\entete{DS n°3 - Suites}{DS n]3 - suites}{1\up{ère}ES1}%g,d,b

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    \color{gray}$>\ $}
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    \color{blue}}
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    \begin{center}
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    \end{center}}




\begin{document}
\setlength{\parindent}{0pt}
\thispagestyle{empty}





\psshadowbox*[fillcolor=0.9white,framearc=.25]{%
\begin{minipage}{\textwidth}
\smallskip
{\LARGE\bfseries \begin{center} 1\up{ère}ES1 - DS n°3 de mathématiques - Samedi 17
    janvier 2009 - 2 heures\end{center}}
\smallskip
\end{minipage}
}
%\vspace{1cm}
         

%\begin{multicols}{2}

\exot{}


$(u_n)_{n \leqslant 0}$ est une suite arithmétique de raison $r=2$ telle que $u_4=30$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_0$.
\item Calculer $u_9$.
\item Calculer la somme $S_{10}$ des 10 premiers termes de la suite $(u_n)_{n \leqslant 0}$.
\end{enumerate}


% \exot{}


% Une personne loue une maison à partir du 1er janvier 2001. Elle a le choix entre deux formules de contrat. Dans les deux cas, le loyer annuel initial est de 12 000 \euro{} et le locataire s'engage à occuper la maison pendant 9 années complètes.
% \begin{enumerate}
% \item Contrat nº1 : le locataire accepte une augmentation annuelle de $5\%$ du loyer de l'année précédente.
%   \begin{enumerate}
%   \item Calculer le loyer $U_1$ payé lors de la deuxième année.
%   \item Exprimer $U_n$ (loyer payé lors de la $(n + 1)$ème année) en fonction de $n$.
%   \item Calculer $U_8$.
%   \end{enumerate}
% \item Contrat nº2 : le locataire accepte une augmentation annuelle forfaitaire de 750 \euro{} du loyer de l'année précédente.
%   \begin{enumerate}
%   \item Calculer le loyer $V_1$ payé lors de la deuxième année.
%   \item Exprimer $V_n$ (loyer payé lors de la $(n + 1)$ème année) en fonction de $n$.
%   \item Calculer $V_8$.
%   \end{enumerate}
% \item Calculer la somme payée à l'issue des neuf années de contrat dans chacun des deux cas. Quel est le contrat le plus avantageux pour le locataire ?
% \end{enumerate}


% \exot{}


% Soit la suite $(U_n)_{n \geqslant 0}$ telle que $U_n=2n+7$.

% \begin{enumerate}
% \item La suite $(U_n)$ est-elle arithmétique ?
% \item Calculer $U_{100}$.
% \item Calculer la somme  $S=U_0+U_1+ \cdots +U_{99}+U_{100}$.
% \end{enumerate}


\exot{}


Soit la suite $(V_n)_{n \geqslant 1}$ géométrique de raison 3 et de premier terme 5.

\begin{enumerate}
\item Calculer $V_2$ et $V_3$.
\item Déterminer le terme général de la suite $(V_n)$.
\item Calculer $V_{10}$.
\item Calculer la somme $S=V_1+V_2+ \cdots +V_{9} + V_{10}$.
\end{enumerate}


\exot{}


On considère les suites $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ définies pour
tout  $n \in \mathbb{N}$ par :

\[u:\left\{
  \begin{array}[c]{l}
    u_0=2\\
    u_{n+1}=3u_n+1, n\in \mathbb{N}\\
  \end{array}\right.;\quad
v:\left\{
  \begin{array}[c]{l}
    v_0=2\\
    v_{n+1}=\dfrac{v_n}{v_n+1}, n\in \mathbb{N}\\
  \end{array}\right.;\quad
w:\left\{
  \begin{array}[c]{l}
    w_0=2\\
    w_{n+1}=-w_n^2+2w_n-1, n\in \mathbb{N}\\
  \end{array}\right.
\]
Calculer les cinq premiers termes de chaque suite.




\exot{}


 La suite géométrique $(u_n)$ est définie par les termes $u_3=\nombre{2,4}$ et $u_{10}=\nombre{307,2}$. Déterminer la raison~$q$, le premier terme~$u_0$ et l'expression de $u_n$ en fonction de~$n$.

\exot{}



On donne pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_n=\dfrac{2+3n}{4}-1$. Étudier les variations de la suite $(u_n)$.


\exot{}

On considère la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ définie par : 
$\left\{
\begin{array}[c]{l}
  u_0 \textrm{ donné.}\\
  u_{n+1}=2u_n-3\\
\end{array}\right.$.

\begin{enumerate}
\item Que peut-on dire de $(u_n)$ si $u_0=3$?
\item Dans la suite de l'exercice, on choisit $u_0=2$.
   \begin{enumerate}
   \item Calculer $u_1$ et $u_2$.
   \item $(u_n)$ est elle une suite arithmétique? 
géométrique?
   \end{enumerate}
\item On considère la suite $(z_n)$ définie pour tout $n$ 
entier naturel par :
$z_n=u_n-3$
   \begin{enumerate}
   \item Calculer $z_0$, $z_1$ et $z_2$.
   \item Montrer que la suite $(z_n)$ est une suite géométrique de raison $q=2$.
   \item Exprimer $z_n$ en fonction de $n$. En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
   \end{enumerate}
\item Calculer $u_{24}$.
\end{enumerate}




\exot{}


Bernard Crazyon dispose de $\nombre{50000000}$~\texteuro{} qu'il place à intérêts composés\footnote{Les intérêts sont dits \og composés\fg lorsqu'à la fin de chaque année les intérêts produits sont ajoutés au capital. Ils produisent alors aux-mêmes des intérêts au cours des années suivantes.} au taux annuel de $6\%$. On note $K_0$ le capital de départ et $K_n$ la somme dont disposera Bernard au bout de $n$ années de placement.
\begin{enumerate}
\item Calculer $K_1$ et $K_2$.
\item Exprimer $K_{n+1}$ en fonction de $K_n$.
\item Quelle est la nature de la suite $(K_n)$?
\item En déduire l'expression de $K_n$ en fonction de $n$.
\item  De  quelle somme  disposera-t-il  s'il  laisse  son argent  placé
  pendant $10$ ans sans krach financier~?
\end{enumerate}



%\end{multicols}

\end{document}
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