\documentclass[a4paper,10pt]{polymaths}

\entete{TD Intégration}{\textsc{MATHS - SGM - $1^{\text{ère}}$ année}}{IUT de Nantes, dpt SGM}



\begin{document}

\thispagestyle{empty}

\setlength{\parindent}{0pt}

\begin{center}
 {\fontsize{30pt}{50pt}\selectfont \pscharpath[linestyle=none,fillstyle=gradient,gradbegin=black,gradend=bleu,gradmidpoint=0.5]{TD 11, 12, 13 \&14 : Intégration }} 
\end{center}


\vspace{3cm}

\section*{Intégration sans primitive}
\exot{Calculs de collège...}

 Calculez les intégrales suivantes, après avoir fait un petit
dessin.
$$I_1=\int_a^bk\,dx\ \ \text{avec }\ k>0\qquad I_2=\int_0^4(3-x)\,dx\qquad
I_3=\int_{-1}^1\sqrt{1-x^2}\,dx  $$

\exot{Fonctions périodiques, paires, impaires}

Sans utiliser de primitives, calculez les intégrales suivantes

\begin{nliste}{4}
\item $\Int{-\pi}{\pi}\sin t\d t$ 
\item $\Int{\efr{\pi}{32}}{\efr{65\pi}{32}}\sin t\d t$ 
\item $\Int{\efr{-\pi}{32}}{\efr{\pi}{32}}\sin t\d t$
\item $\Int{\efr{-\pi}{2}}{\efr{\pi}{2}}\sin^{32}t\d t$
\end{nliste}


\exot{Intégrale de fonction non continue}

Calculez $\Int{0}{32}\text{E}(x)\d x$ où E$(x)$ désigne la partie entière de $x$. Calculez ensuite $\Int{0}{32,32}\text{E}(x)\d x$.

\exot{Intégrale de fonction affine par morceaux}

Nous avions étudié la fonction $\Lambda$ au cours du TD 3 définie par 
\[\Lambda(x)=x\UR(x)-2(x-1)\UR(x-1)+(x-2)\UR(x-2)\qquad\text{ avec }\qquad  
\UR(t)=\begin{cases} 0 \text{ si } t<0\\
                       1 \text{ si } t\se0
                       \end{cases}\]

Calculez alors $\Int{-3232}{32323232}\Lambda(x)\d x$



\exot{Calcul par encadrements }
 \'Etudiez la limite de la suite de terme général
$u_n=\ds\int_n^{n+1}e^{-x}\,dx$.

Vous pourrez commencer par encadrer $e^{-x}$ sur $[n,n+1]$ en
fonction de $n$.


\break


\exot{Intensité efficace d'un courant sinusoïdal}
On considère un courant sinusoïdal d'intensité 
$i=i_0\sin(\omega t)$ avec $T=\ofr{2\pi}{\omega}$
On définit la valeur efficace $\ER$ de $i$ par 
\[\ER=\sqrt{\fr{1}{T}\Int{0}{T}i_0^2\sin^2(\omega t)\d t}\]
Calculez $\ER$ en utilisant la formule $\cos 2x =1-2\sin^2 x$ et sans utiliser de primitive.

\exot{Centre de gravité d'une plaque plane homogène}

Pour un système matériel composé de $n$ points $M_1$, $M_2,\cdots,M_n$ de masses respectives $m_1$, $m_2,\cdots m_n$, le centre de gravité est défini par \[\ve{OG}=\fr{1}{M}\sum_{i=1}^nm_i\ve{OM_i}\] avec $M$ la masse totale du système : $M=\ds\sum_{i=1}^nm_i$.

Si on travaille dans le plan, on obtient donc les coordonnées du centre de gravité grâce aux formules 
\[ x_G=\fr{1}{M}\sum_{i=1}^nm_ix_i\qquad y_G=\fr{1}{M}\sum_{i=1}^nm_iy_i\]

Les choses se compliquent lorsqu'on cherche les coordonnées du centre de gravité d'une plaque homogène : on ne peut pas recenser tous les points formant la plaque~!

Nous prendrons comme masse surfacique $\rho=1$ unité de masse/unité de surface.  Supposons que la plaque a la forme ci-dessous

\des{limfonc.72}{5}

Considérons la petite section de la plaque représentée ci-dessus entre les abscisses $x$ et $x+\d x$. Comme d'habitude, on va assimiler cette section à un rectangle de hauteur $f(x)$ et de largeur infiniement petite $\d x$. 

Alors, la masse du rectangle vaut $\rho\times f(x)\times \d x=f(x)\d x$. 

Les coordonnées du centre d'inertie partiel $G_x$ de cette petite plaque sont assimilées à   $x_{G_x}\simeq x$, $y_{G_x}\simeq \ofr{f(x)}{2}$.

\bigskip

En vous inspirant des méthodes vues en cours, expliquez pourquoi on obtient
 
\[x_G=\fr{\Int{a}{b}xf(x)\d x}{\Int{a}{b}f(x)\d x}\qquad y_G=\fr{1}{2}\fr{\Int{a}{b}\big(f(x)\big)^2\d x}{\Int{a}{b}f(x)\d x}\]


Nous utiliserons ces formules un peu plus loin dans le TD. Nous généraliserons ces résultats après avoir étudié les intégrales multiples. 


\section*{Calcul des intégrales }

\exot{Primitives usuelles}



\begin{DeuxCols}

$\ds\int x^n\d x=$

$\ds\int\fr{\d x}{x}=$

$\ds\int e^x \d x=$

$\ds\int \cos x\d x=$

$\ds\int \sin x\d x=$

$\ds\int \fr{\d x}{\cos^2 x}=$

$\ds\int \ch x\d x=$

$\ds\int \sh x\d x=$

$\ds\int \fr{\d x}{1+x^2}=$

$\ds\int \fr{\d x}{\sqrt{1-x^2}}=$

$\ds\int \fr{\d x}{\ch^2 x}=$

$\ds\int a^x \d x=$





\end{DeuxCols}



\exot{Primitives moins usuelles}

\begin{DeuxCols}

$\ds\int \fr{1}{t\ln t}\d t=$

$\ds\int \tan t \d t=$

$\ds\int \tan^2 t\d t=$

$\ds\int \cos^2 t\d t=$

$\ds\int \ln t \d t=$ (Ipp)

$\ds\int \fr{\d t}{\sin t}=$ (Posez $t=\tan(\ofr{t}{2})$)

\end{DeuxCols}


\exot{Intégration par parties}

\begin{nliste}{3}
\item $\Int{1}{e}{x^n}{\ln x}\d x$ \item $\Int{0}{\efr{1}{2}}\Arcsin t \d t$ \item $\Int{-1}{\sqrt{3}}u\Arctan u\d u$ \item $\Int{0}{2}x^2e^{-x}\d x$
\item $\Int{0}{\pi}t^2 \cos t \d t$ \item $\Int{0}{1}e^{at}\cos(bt)\d t$ 
\end{nliste}

\exot{Transformée de Fourier du signal $\mathbf{s(t)=\cos(\pi t)\Pi(t)}$}

Il s'agit de calculer l'intégrale $X(s)=2\ds\int_{-1/2}^{1/2}\cos(\pi t)\cos(2\pi ft)\,dt$  où $f$ est un paramètre positif.



\exot{Transformée de Laplace de la fonction rampe}

On pose $I(x)=\ds\int_0^xte^{-pt}\,dt$ où $p$ est un paramètre réel. Calculez $I(x)$ puis $\Lim{+\infty}I(x)$ en discutant selon les
valeurs du paramètre $p$.




\exot{Changement de variable}

\begin{nliste}{4}
\item $\Int{-3}{\sqrt{3}}\fr{\d u}{16+u^2}$ \item $\Int{0}{1}e^{\sqrt{t}}\d t\qquad(u=\sqrt{t}$) \item $\Int{-1}{1}\fr{e^x}{e^{2x}+1}\d x\qquad (x=\ln t$) \item $\Int{0}{1}t^3e^{t^2}\d t \qquad (x=t^2$)
\end{nliste}


\break

\exot{Calcul d'intégrales de fonctions trigonométriques par linéarisation}

\been
\item En utilisant de bonnes formules trigonométriques, linéarisez $\cos(3t)\cos(5t)$ .
\item Utilisez les formules d'Euler pour linéariser $\sin^3(t)$
\item Calculez $I=\Int{0}{\efr{\pi}{8}}\cos(3t)\cos(5t)\d t$, $J=\Int{0}{\pi}\cos(4t)\sin^3(t)\d t$ et  $K=\Int{0}{\efr{\pi}{4}}\cos(4t)\sin^4(t)\d t$
\een


\exot{Changements de variables trigonométriques}

\textbf{Rappel : règles de Bioche. } Soit $F(\sin x, \cos x)$ une <<~fraction rationnelle en cos et sin~>> alors on calcule $\int F(\cos x,\sin x)\d x$ en effectuant un changement de variable selon les régles suivantes : si $F(\sin x, \cos x)\d x$ est invaraint quand on change  
\bel
\item $x$ en $ \pi-x $, alors on effectue le changement de variable $\sin x=t$
\item $x$ en $ -x $, alors on effectue le changement de variable $\cos x=t$
\item $x$ en $ \pi+x $, alors on effectue le changement de variable $\tan x=t$
\el

Si aucun changement ne fonctionne, on pose $\tan(\ofr{x}{2})=t$.

Calculez alors les intégrales suivantes 

\begin{nliste}{3}
\item $\Int{}{}\fr{\d u}{\sin u}$ \item $\Int{0}{\pi}\fr{\sin t}{3+\cos(2t)}\d t$ \item $\Int{0}{\pi}\fr{\d x}{1+\sin^2 x}$ (\danger)
\end{nliste}

\exot{Intégration de fractions rationnellles}

\begin{nliste}{4}
\item $\Int{1}{2}\fr{\d x}{x(x+1)}$   \item $\Int{}{}\fr{\d t}{t^2-t-3}$  \item $\Int{1}{\sqrt{3}}\fr{x^2-1}{x(x^2+1)}\d x$ \item $\Int{0}{1}\fr{x}{(2x+5)^2}\d x$

\item $\Int{-\efr{1}{2}}{2}\fr{\d x}{x^2+x+2}$   \item $\Int{-1}{2}\fr{x}{x^4+4}\d x$  \item $\Int{0}{\efr{\pi}{6}}\fr{\cos(3t)}{\sin^2t+1}\d t$

\item $\Int{0}{\efr{\pi}{3}}\fr{\sin^3 x}{\cos^2x+\cos x+2}\d x$ 

\item $\Int{0}{\efr{\pi}{4}}\tan^3 x\d x$  \item $\Int{0}{\efr{\pi}{4}}\tan^4 x\d x$  \item $\Int{0}{\efr{\pi}{3}}\fr{\sin(2u)}{1+\sin^2 u}\d u$

\item $\Int{0}{\efr{\pi}{2}}\fr{\cos x}{2+\cos x}\d x$

\end{nliste}



\exot{Moment de flexion d'une poutre}

On considère une poutre horizontale chargée et en appui sur deux murs verticaux. La poutre a pour longueur $\ell$ ( en mètre). On la munit d'un repère $(O,\ve{i})$ d'unité graphique 1 m.

Au point d'abscisse $x$ ($0\ie x\ie \ell$), le moment de flexion $f(x)$ est donné par l'intégrale 

\[ f(x)=\Int{0}{x}t g(t)\d t\]

où $g$ est une fonction dépendant de la forme de la charge de la poutre. Calculez $f(x)$ dans les cas suivants :
\been
\item $g(t)=1000(t^2+1)$
\item $g(t)=500e^{2t}$
\een



\break

\exot{Discrétisation d'une équation différentielle}

\subsection*{Quel est le problème~?}

Soit $(E)$ l'équation différentielle $x'(t)+3x(t)=2$, $x(0)=1$. Nous savons parfaitement résoudre cette équation (nous reverrons cette équation étudiée en Terminale au second semestre). Nous allons voir une méthode qui va vous paraître beaucoup plus compliquée, mais qui s'avérera fort utile
quand il s'agira de résoudre des équations différentielles plus sophistiquées où les méthodes habituelles de résolution ne nous
permettront plus de conclure mais que vous rencontrerez au hasard de votre carrière de technicien ou d'ingénieur.

Nous allons <<~observer~>> la solution de l'équation à intervalle de temps régulier : la période d'échantillonnage qu'on notera $T_e$. On
fixera par exemple $T_e=0,2\, s$.

Nous allons intégrer l'équation $(E)$ sur une période d'chantillonnage quelconque, c'est à dire sur un intervalle $[kT_e,(k+1)T_e]$, avec
$k$ un entier naturel. Cela donne, grâce à la linéarité de l'intégration :

$$\int_{kT_e}^{(k+1)T_e}x'(t)\,dt+3\int_{kT_e}^{(k+1)T_e}x(t)\,dt=2\int_{kT_e}^{(k+1)T_e}dt$$

On définit la suite $(x_k)_{k\in\bbn}$ par $x_k=x(kT_e)$.

Calculez le premier terme du premier membre ainsi que le second membre de l'équation : pas de problème.

Plus compliqué va être de calculer $\int_{kT_e}^{(k+1)T_e}x(t)\,dt$ car nous ne connaissons pas $x$, donc encore moins une de ses
primitives. Nous allons malgré tout nous en tirer en déterminant une approximation du résultat.


\subsection*{Méthode des trapèzes}

\des{limfonc.73}{5}


Il semble raisonnable de penser que plus  $T_e$ sera petit, plus l'aire rouge le sera également et donc meilleure sera l'approximation.
Vous aurez également noté que cette méthode est encore plus précise que celle des rectangles vue en cours au moment de l'étude des sommes de Darboux.

Maintenant, en vous souvenant de la formule $\AR(\text{trapèze})=\fr{(\text{petite base}+\text{grande base})\times\text{hauteur}}{2}$,
donnez l'aire du trapèze bleu.

\subsection*{\'Equation aux différences}

Déduisez-en que la suite $(x_n)$ vérifie l'équation aux différences $(F)$
$$\fr{13}{10}x_{n+1}-\fr{7}{10}x_n=\fr{2}{5}$$
Vous reconnaissez une suite arithmético-géométrique. En déterminant la solution $\al$ de
l'équation~$\fr{13}{10}x-\fr{7}{10}x=\fr{2}{5}$ et en étudiant la suite définie par $v_n=x_n-\al$, exprimez $x_n$ en fonction de $n$.





\end{document}