

\documentclass[a4paper]{report}

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\entete{ Colle MAPLE n°7 }{Algèbre générale}{Lycée Clemenceau - PCSI 2 }




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\renewcommand{\gros}[1]{\textcolor{0.4white}{\sffamily\textbf{#1}}}



\begin{document}

\thispagestyle{empty}
\setlength{\parindent}{0mm}

\setcounter{NumLecon}{6}
         \TITREC{Colle n°}{Algèbre générale}{yellow}
         



\section{Structure de groupe abélien}



\subsection{Premier exemple commenté}

Vous savez tous ce qu'est un groupe abélien... 

Prenons par exemple $\bbz$ muni de l'opération $\bot$
\[ \bot :\begin{array}{rll} \bbz\times \bbz &\to & \bbr \\ (a,b) & \mapsto & a+b-37\end{array}\]
 

C'est bien sûr un cas évident mathématiquement,  mais cela nous permettra de nous concentrer d'abord
sur l'aspect MAPLE du problème. 

\subsubsection{Loi interne}
On commence par indiquer l'existence de notre loi binaire 

\begin{lstlisting}
  f:=(a,b)->a+b-37;
\end{lstlisting}

Ensuite on explique que $a$ et $b$ sont des entiers

\begin{lstlisting}
  assume(a,integer); assume(b,integer);
\end{lstlisting}

On vérifie que $a\bot b$ l'est aussi

\begin{lstlisting}
  is(f(a,b),integer);
\end{lstlisting}
 

\subsubsection{Commutativité}

On utilise \Coms{evalb}{test} qui indique si {\ttfamily test} est vrai ou faux (eval Boolean)

\begin{lstlisting}
  evalb(f(a,b)=f(b,a));
\end{lstlisting}




\subsubsection{Associativité}

Il faut vérifier que $(a\bot b)\bot c=a\bot(b\bot c)$ pour tout triplet $(a,b,c)$ d'entiers. 

\begin{lstlisting}
  evalb(f(f(a,b),c)=f(a,f(b,c)));
\end{lstlisting}



\subsubsection{Élément neutre}

On cherche un élément $e$ vérifiant $a\bot e=e\bot a=a$ pour tout entier $a$. 

\begin{lstlisting}
  e:=solve(f(a,x)=a,x);
\end{lstlisting}


\subsubsection{Symétrique}

On vérifie que chaque entier admet un symétrique $s$ vérifiant $a\bot s=s\bot a=e$ et appartenant à $\bbz$

\begin{lstlisting}
  s:=solve(f(a,x)=e,x);
  is(s,integer);
\end{lstlisting}

\subsection{À vous de jouer}

Vérifiez si $(E,\star)$ est un groupe dans les cas suivants

\begin{enumerate}
\item $E=]-1\pv 1[$ avec $ \star :\begin{array}{rll} E\times E &\to &\bbr \\ (x,y) & \mapsto & x\star y=\fr{x+y}{1+xy}\end{array}$

\item $E=\bbr$ avec $\star :\begin{array}{rll} E\times E&\to &\bbr \\ (x,y) & \mapsto &x\star y=xy-2(x+y)+6 \end{array}$
\item $E=\bbr$ avec $\star :\begin{array}{rll} E\times E&\to &\bbr \\ (x,y) & \mapsto &x\star y=x+y-2x^2y^2 \end{array}$

\end{enumerate}








\section{Corps}

Dans la  même veine, vous  allez pouvoir vérifier  si $(E,\star,\sharp)$ est  un corps dans  les cas
suivants :

\begin{enumerate}
\item $E=\big\{a+b\sqrt{2},\ (a,b)\in\bbq^2\big\}$ avec $\star$ et $\sharp$ sont l'addition et la
multiplication usuelles des réels. 
\item $E=\bbr$  avec $\star :\begin{array}{rll}  E\times E&\to &E  \\ (x,y) & \mapsto  &x\star y=x+y-1
  \end{array}$ et $\sharp :\begin{array}{rll} E\times E&\to & E\\ (x,y) & \mapsto & x\sharp y=x+y-xy\end{array}$
\end{enumerate}



\section{Groupes finis}

On considèrera par la suite un groupe multiplicatif $(G,\cdot)$

Un groupe fini est tout simplement un groupe ayant un nombre fini d'éléments.


Un groupe fini est cyclique si chacun de ses éléments peut s'écrire comme une puissance d'un élément
particulier $g$ du groupe appelé générateur. 


On appelle ordre de $a$ le plus petit entier naturel non nul $n$ vérifiant $a^n=1_G$


\subsection{Racines n-ièmes de l'unité}

Dans la suite, on notera $\bbu_n$ l'ensemble des racines $n$-èmes de l'unité.


À l'aide des commandes \gros{seq} et \gros{exp}, donnez la \emph{liste} des $10$ racines 10-èmes de l'unité.


\subsection{Procédure {\ttfamily ordre}}

Construisez une procédure \code{ordre:=proc(k,U)} qui donne l'ordre du $k$\eme élément de U. 

Vous utiliserez \code{while}, \code{<>} qui veut dire $\neq$ et \Coms{evalc}{}, cette dernière commande renvoyant la forme
algébrique d'un nombre complexe. 


Vous vous en servirez pour donner la liste des ordres de $\bbu_{10}$ par exemple.

\subsection{Tables de multiplications...}


Construisez les tables de multiplications (ou plutôt les tables de Pythagore) de $\bbu_3$. 

Vous vous servirez intelligemment des lignes suivantes

\begin{lstlisting}
  A:=[seq([seq(evalc(U[i]*U[j]),j=1..n)],i=1..n)]:
  T:=convert(A,array);
\end{lstlisting}


Déduisez-en que $\bbu_3$ est un groupe. 

Écrivez  une procédure  \code{GroupeFini:=proc(n)} qui  donnera $\bbu_n$,  la liste  des  ordres des
éléments et la table de Pythagore de ($\bbu_n,\cdot$).

Est-ce que les $\bbu_n$ sont cycliques


\end{document}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: 
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