\documentclass[xcolor={hyperref,dvips,ps2pdf},dvips]{beamer} 
\usepackage[baw]{fvrb-ex}

\usepackage{BeamerPolymaths}

\fvset{xrightmargin=0cm,gobble=2}

\graphicspath{{/home/moi/Photos/Maths/}{/home/moi/Figures/figuresTS/}{/home/moi/Figures/FigSTI/}}







\renewcommand\FancyVerbFormatLine[1]{\colorbox{green}{#1}}

\mode<presentation>
{
  \usetheme[secheader]{Madrid}
  % or ...Warsaw

  \setbeamercovered{highly dynamic}
  % or whatever (possibly just delete it)
}


\title[] % (optional, use only with long paper titles)
{Fonctions continues}

\subtitle{}

\author[] % (optional, use only with lots of authors)
{Guillaume CONNAN }
% - Give the names in the same order as the appear in the paper.
% - Use the inst{?} command only if the authors have different
%   affiliation.

\institute{Lycée Jean PERRIN}% (optional, but mostly needed)


\date[] % (optional, should be abbreviation of conference name)
{Septembre 2007}
% - Either use conference name or its abbreviation.
% - Not really informative to the audience, more for people (including
%   yourself) who are reading the slides online

\subject{}

\AtBeginSubsection[]
{
  \begin{frame}<beamer>
    \frametitle{Sommaire}
     
    \tableofcontents[currentsection,currentsubsection]
       
  \end{frame}
}


% If you wish to uncover everything in a step-wise fashion, uncomment
% the following command: 

\beamerdefaultoverlayspecification{<+->}


\begin{document}

\begin{frame}
  \titlepage
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{Sommaire}
  \tableofcontents
  % You might wish to add the option [pausesections]
\end{frame}



\section{Qu'est-ce qu'une fonction continue en un point
?}



\subsection{Définition}

\begin{frame}
  
\begin{definition}
  

Soit $a$ un réel, et soit $f$ une fonction
définie sur un intervalle contenant $a$.
 On dit que \textbf{\mg$f$ est continue en $a$}
lorsque $f(x)$ tend vers $f(a)$ quand $x$ tend vers $a$. 
\end{definition}

\end{frame}




\subsection{Peut-on soigner des fonctions discontinues en un point~?}

\begin{frame}
  $$f_2:[0,2]\to\bbr,\,x\mapsto
\begin{cases}
\cos x&\text{ si $x\in[0,1]$}\\
\cos(x-1)&\text{ si $x\in]1,2]$}
\end{cases}
$$
\end{frame}



\subsection{Y a-t-il différents
types de discontinuité ?}


\begin{frame}
  
\begin{center}
  \includegraphics{limfonc.3}
\end{center}
\end{frame}


\begin{frame}
  
\begin{center}
  \includegraphics{analyse20078.5}
\end{center}

\end{frame}


\begin{frame}
  
\begin{center}
\includegraphics{analyse20078.4}
\end{center}


\end{frame}




\section{Propri\'et\'es des fonctions continues sur un
intervalle}



 \subsection{Quelles sont les fonctions dont le graphe est un
trait continu ?}



\begin{frame}
  \begin{center}
\includegraphics{analyse20078.7}
\end{center}
\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{center}
\includegraphics{limfonc.3}
\end{center}
\end{frame}


\begin{frame}
  
\begin{center}
\includegraphics{analyse20078.6}
\end{center}

\end{frame}





\begin{frame}
  
\begin{definition}

Soit $I$ un intervalle de $\bbr$ et $f$ une
fonction de $I$ vers $\bbr$. On dit que $f$ est continue lorsque,
pour tout $a\in I$, on a $\ds\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$, ce qui
revient à dire que $f$ est continue en tout point de $I$. 
\end{definition}


\end{frame}


\begin{frame}
  $x\mapsto
\fr{x^2-3x+1}{x-2}$


\begin{center}
  \includegraphics{analyse20078.8}
\end{center}

\end{frame}





\subsection{Une fonction continue peut-elle changer de signe sans
s'annuler ?}


\begin{frame}
  
\begin{center}
\includegraphics{analyse20078.9}
\end{center}

\end{frame}



\subsection{TVI}


\begin{frame}
  
\begin{center}
\includegraphics{limfonc.19}
\end{center}

\end{frame}



\begin{frame}
  \begin{theorem}{Théorème des valeurs intermédiaires}
  Soit $f$ une fonction
continue d'un intervalle $I$ vers $\bbr$, et soient $a$ et $b$
deux éléments de $I$ tels que $a<b$. Alors pour tout réel $k$
compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe $c\in[a,b]$ tel que
$f(c)=k$.
\end{theorem}
\end{frame}


\subsection{Comment montrer que deux courbes se rencontrent ?}


\begin{frame}
  
\begin{center}
\includegraphics{limfonc.242}
\end{center}
\end{frame}



\subsection{ Comment montrer qu'une équation admet une unique
solution~?}


\begin{frame}
  
\begin{center}
\includegraphics{limfonc.20}
\end{center}

\end{frame}


\begin{frame}
  
\begin{theorem}{Théorème de la solution unique}
  Soit $f$ une fonction
\textbf{continue} et \textbf{strictement monotone} d'un intervalle
$I$ vers $\bbr$, et soient $a$ et $b$ deux éléments de $I$ tels
que $a<b$. Alors pour tout réel $k$ \textbf{compris entre} $f(a)$
et $f(b)$, il existe un \textbf{unique} réel $c\in[a,b]$ tel que
$f(c)=k$.
\end{theorem}

\end{frame}




\subsection{Comment résoudre une équation numérique par
dichotomie~?}



\begin{frame}
  
\begin{center}
\includegraphics{limfonc.191}
\end{center}

\end{frame}


\begin{frame}
  
\begin{center}
\includegraphics{limfonc.192}
\end{center}

\end{frame}


\subsection{Avec XCAS}

\begin{frame}[fragile]
\footnotesize
\begin{Verbatim}
   dicho(f,p,a,b):={
   local aa,bb,k;
   aa:=a;
   bb:=b;
   k:=0; // on crée un compteur d'itérations
   while( (bb-aa)>p) {
   if (sign((f((bb+aa)/2)))=sign((f(bb))) ) bb:=((aa+bb)/2);
   else aa:=((aa+bb)/2);
   k:=k+1; // on rajoute 1 au compteur
   }
   return evalf((bb+aa)/2)+"est la solution trouvée après "+k+" itérations";
   }:;
\end{Verbatim}
  
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]
  
\begin{Verbatim}
   Digits:=30:;dicho(x->x^2-2,10^(-30),1,2)
\end{Verbatim}
\end{frame}


\begin{frame}
   \texttt{ 1.414213562373095048801688724209 est la solution trouvée  après 100 itérations}
\end{frame}




\section{A mad tea party}


\begin{frame}
  \frt{A mad tea party}
\begin{center}
\includegraphics[height=7cm]{MadHatter.eps}
\end{center}
\end{frame}


% \begin{frame}
  
% \textit{<<~Reprenez donc un peu de thé~>> propose le Lièvre de Mars.}

% \pause

% \textit{<<~Je n'ai rien pris du tout, je ne saurai donc reprendre de rien~!~>>}

% \pause

% \textit{<<~Vous voulez dire que vous ne sauriez reprendre de quelque chose~>> repartit le Chapelier.\\
%  <<~Quand il n'y a rien, ce n'est pas
% facile d'en reprendre~>>.}

% \end{frame}


% \begin{frame}
  

%  \begin{itemize}

%  \item Alors comme ça, vous êtes étudiante~?
%  \item Oui, en mathématiques par exemple.
%  \item alors que vaut cette fraction : un sur deux sur trois sur quatre~?
%  \item Eh bien ...
%  \item Elle vaut deux tiers, la devança le Loir.
%  \item Ou trois huitièmes si vous préférez, ajouta le Lièvre de Mars.
%  \item Ou encore un sur vingt-quatre, affirma le Chapelier.
%  \item En fait, je crois que...
% \item Aucune importance ! Dîtes-nous plutôt combien vous voulez de sucre dans votre thé~?
% \item Deux ou trois, ça dépend de la taille de la tasse.
% \item Certainement pas, car de toute façon, deux ou trois c'est pareil.
% \item Parfaitement~! approuva le Loir en fixant Alice qui écarquillait les yeux.
% \item Ce n'est pourtant pas ce qu'on m'a appris, fit celle-ci.
% \end{itemize}

% \end{frame}

\begin{frame}
\begin{itemize}

\item Pourtant, ce n'est pas compliqué à comprendre, en voici une démonstration des plus élémentaires\\
                On sait que pour tout entier $n$ on a successivement
                $$(n+1)^2=n^2+2n+1$$
                $$(n+1)^2-2n-1=n^2$$
                Retranchons $n(2n+1)$ des deux côtés
                $$(n+1)^2-(n+1)(2n+1)=n^2-n(2n+1)$$
                Mézalor, en ajoutant $(2n+1)^2/4$, on obtient
                $$(n+1)^2-(n+1)(2n+1)+\fr{(2n+1)^2}{4}=n^2-n(2n+1)+\fr{(2n+1)^2}{4}$$
                Soit
                $$\pa{(n+1)-\fr{2n+1}{2}}^2=\pa{n-\fr{2n+1}{2}}^2$$
En passant à la racine carrée, on obtient
$$(n+1)-\fr{2n+1}{2}=n-\fr{2n+1}{2}$$
d'où
$$n+1=n$$
Et si je prends $n=2$, j'ai aussitôt $3=2$

\end{itemize}

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{itemize}


\item Parce que chez vous, 3 c'est moins que 1 ? s'indigna Alice.
\item On se demande ce qu'on vous apprend à l'école ! Bien sûr que oui ! Tenez, considérez
$$f(x)=\fr{x^2+32}{2x^2+1}+\fr{|x|+1}{2x+51}$$
Eh bien il est facile de voir que cette fonction a pour limite 0 en moins l'infini et 1 en plus l'infini.
\item Je ne dis pas le contraire, protesta Alice.
\item Donc l'image par $f$ de $\bbr$ est l'intervalle $]0,1[$, or $f(0)=3$, donc 3 appartient à $]0,1[$ à ce titre : on a bien 3 plus
petit que 1.
\item C'est de la folie pure, pensa Alice...
\end{itemize}

\end{frame}

\newcolumntype{A}{>{\arraybackslash}X}

\section{Exercices divers}







\begin{frame} \begin{Problem} Un chat du Cheshire  parcourt 10 km en 2 heures. montrez qu'il existe un intervalle de temps de durée 1 heure pendant lequel il a
parcouru exactement 5 km.

\end{Problem}

\pause

Introduisez la fonction qui à t  associe le nombre de km parcourus en t heures puis la fonction
$t\mapsto d(t+1)-d(t)$

\end{frame}



\begin{frame} \begin{Problem} Montrez que tout polynôme de degré impair possède au moins une racine
    réelle. 
\end{Problem}

\pause

Il faut considérer la fonction polynomiale
associée et chercher un théorème dans le cours qui vous permette de conclure.




\end{frame}





\begin{frame} \begin{Problem} \'Etudiez et représentez graphiquement la fonction $f$ définie sur $\bbr^*$ par
$f~:\ x\mapsto \fr{E(x)}{x}$

\end{Problem}
\end{frame}


\begin{frame} \begin{Problem} Soit $F$ la fonction définie sur $\bbr$ par
$F~:\ x\mapsto x-E(x)$
On rappelle que $E(x)$ est l'unique entier vérifiant $E(x)\ie x<E(x)+1$.

\pause

Montrez que $E(x+1)=E(x)+1$ puis que $F$ est périodique.
 et
représentez \textit{sommairement} $F$ sur un graphique.

\end{Problem}
\end{frame}




\begin{frame} \begin{Problem} Soit $f$ une fonction continue sur $[0,1]$ et à valeurs dans $[0,1]$.

Montrez qu'il existe un réel $x_0\in[0,1]$ vérifiant $f(x_0)=x_0$. Illustrez votre propos à l'aide d'un schéma.


\end{Problem}
\end{frame}







\begin{frame} \begin{Problem} Soit $x\in\bbr$. \'Etudiez $\Lim{+\infty}\fr{E(-3nx)}{-2n}$ \jok{Commencez par encadrer $E(-3nx)$}

\end{Problem}
\end{frame}






\begin{frame} \begin{Problem} Soit $x\in\bbr$. \'Etudiez $\Lim{+\infty}\fr{1}{n^2}\sum_{k=1}^nE(kx)$

\end{Problem}
\end{frame}


\begin{frame} \begin{Problem}


\begin{itemize} \item \'Etudier les variations de la fonction $f$ d\'efinie sur $\bbr$
par $f(x) =  \cos x + x$.

En d\'eduire que l'\'equation $\cos x + x =  0$ a une unique solution. En donner une valeur approch\'ee
 à $10^{-3}$ pr\`es.

\item On consid\`ere l'\'equation (E) $\sin x -
\cfrac{x}{2} = 0,~x \in \bbr$.

\begin{itemize} \item Montrer que toutes les solutions de cette \'equation appartiennent à l'intervalle
$[-2~;~2]$.

\item Donner, en le justifiant, le nombre de solutions de l'\'equation (E).

\item Donner une valeur approch\'ee, à $10^{-3}$ pr\`es par d\'efaut, de la plus grande
solution.

\end{itemize}

\end{itemize}

\end{Problem}
\end{frame}











\begin{frame} \begin{Problem}
\small
\begin{itemize}
\item Occupons-nous de fonctions utilisées couramment en électricité


\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{AA}

On considère le cicuit très simple ci-contre. On ferme l'interrupteur à l'instant $t=0$ et on mesure la tension $U(t)$ .
Elle peut être définie par \[t\mapsto U(t)=\begin{cases} E &   \text{si}\  t\se 0\\ 0 &   \text{si }\  t<0 \end{cases}\]
&
\includegraphics{CircuitOnOff.1}

\end{tabularx}

Représentez graphiquement la fonction $U$.

\item On note $f$ la fonction $f~:~t\mapsto U(t-2)$ et $g~:~t\mapsto U(t+2)$.

En électricité, on appelle l'une \textit{échelon retardé} et l'autre \textit{échelon avancé} : pourriez-vous dire qui est qui ?





\end{itemize}

\end{Problem}
\end{frame}





\begin{frame} \begin{Problem}

Représentez la fonction $\Pi~:~x\mapsto \begin{cases} E &   \text{si}\  |x|\ie 1/2\\ -E &   \text{si }\ |x|>1/2 \end{cases}$

Donnez une interprétation physique de cette fonction si $x$ représente la fréquence d'un signal émis par un émeteur radio.
\end{Problem}
\end{frame}



\begin{frame} \begin{Problem}

 Pour s'amuser, on fait varier le sens du courant.  Représentez la fonction $\f$ qui est de période 1 et vérifie
\[t\mapsto \f(t)=\begin{cases} E &   \text{si}\  0<t<1/2\\ -E &   \text{si }\  1/2<t<1 \end{cases}\]

\end{Problem}
\end{frame}


\begin{frame} \begin{Problem}


\begin{itemize}

\item
Soit T la fonction \textbf{paire}, de période 1, et qui vérifie, pour tout $x\in[0\pv 1/2[$ 
\[ T(x)=E-2Ex  \]


Représentez graphiquement cette fonction et déterminez l'expression de cette fonction pour $x\in]-1/2\pv 0]$



\item On considère la fonction $\Lambda$ définie sur $\bbr$ par 

\[  \Lambda~:~t\mapsto tU(t)-2(t-1)U(t-1)+(t-2)U(t-2)  \]

où U est la fonction de Heavyside étudée précédemment.

Représentez graphiquement cette fonction en distingant les intervalles $]-\infty\pv 0[$, $[0\pv 1[$, $[1\pv 2[$ et $[2\pv +\infty[$.

\item Donnez un nom à la fonction suivante $d$, de période 1, telle que $d(x)=Ex$ pour tout $x\in[0\pv 1[$.

\end{itemize}
\end{Problem}
\end{frame}



\begin{frame}

Rien de plus simple qu'un signal triangulaire\dots et pourtant, voici le circuit le produisant :

\begin{center}
\includegraphics[height=6cm]{/home/moi/Photos/Maths/oscillateur.eps}
\end{center}
\end{frame}



\begin{frame} \begin{Problem}

Les fonctions causales sont très utilisées en électricité. Il s'agit tout simplement de fonctions nulles sur $]-\infty\pv 0]$. 

Pour les exprimez, on utilise la fonction de Heaviside qu'on multiplie par des fonctions usuelles. Représentez graphiquement les fonctions suivantes

\begin{itemize}
\item $f_1~:~x\mapsto U(x)\sin x$
\item $f_2~:~x\mapsto U(x)\sin(x-\pi)$
\item $f_3~:~x\mapsto U(x-\pi)\sin x$
\item $f_4~:~x\mapsto U(x-\pi)\sin(x-\pi)$



\end{itemize}

\end{Problem}
\end{frame}













\end{document}
%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: 
