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\entete{\sffamily\MakeLowercase{\rightmark}}{\Large\bfseries    COMPLEXES
  - I }{Lycée Jean
  Perrin - T\up{ale}S4}%impair,pair,bas
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\renewcommand{\vect}{\ve}

\setcounter{tocdepth}{2}

\setlength{\headheight}{15mm}

\begin{document}
\setlength{\parindent}{0pt}
\thispagestyle{empty}


\TITRE{I}{Leçon }{COMPLEXES}{Parte oane}{}{shadok}


\begin{Abstract}
Les  nombres  complexes  portent  bien  leur  nom  !  Ils  interviennent
partout  : en  algèbre, en  analyse, en  géométrie, en  électronique, en
traitement du signal,  en musique, etc. Et en plus,  ils n'ont jamais la
même  apparence  :  tantôt  sous  forme algébrique,  tantôt  sous  forme
trigonométrique, tantôt sous forme  exponentielle, ... Leur succès vient
en fait de  deux propriétés : en travaillant  sur les nombres complexes,
tout polynôme admet un nombre de racines égal à son degré et surtout ils
permettent de calculer  facilement en dimension 2. Ce  n'est pas clair ?
Alors détaillons ! 
\end{Abstract}



\section{Approche historique}

\subsection{Combien l'équation $\mathbf{x^3+px+q=0}$
 a-t-elle de   solutions dans ${\mathbf\bbr}$~?}  
Historiquement,  c'est en essayant  de résoudre  cette équation  que les
mathématiciens italiens  du XVI\eme siècle eurent pour  la première fois
l'idée d'utiliser des nombres dont le carré est négatif. Nous qui vivons
au XXI\eme, nous avons des outils pour dénombrer les solutions. 

Considérons donc la fonction $f~:~x\mapsto x^3+px+q$ avec $p$ et $q$ des
entiers. En étudiant cette  fonction, nous allons vérifier qu'elle admet
toujours au  moins une solution réelle  et même déterminer  le nombre de
solutions selon les valeurs de $p$ et $q$. 

\sm

Comme                               $\Lim{-\infty}f(x)=\cacheb{-\infty}$,
$\Lim{+\infty}f(x)=\cacheb{+\infty}$ et que 
$f$  est continue  sur $\bbr$,  le Théorème  des  Valeurs Intermédiaires
assure l'existence d'une  valeur d'annulation de $f$ car  elle change de
signe\footnote{ comme nous le verrons dans un prochain chapitre... }

\sm

Maintenant, calculons la dérivée de $f$ : $f'(x)=\cacheb{3x^2+p}$.  Quel
est son signe ? Distinguons deux cas : 

\begin{itemize}
\item $\mathbf{p\se0}$  : alors la dérivée est  strictement positive sur
  $\bbr^*$, donc $f$ ne s'annule qu'une fois. 
\item  $\mathbf{p<0}$  :  alors  la  dérivée s'annule  en  deux  valeurs
  opposées \cacheb{$\pm\sqrt{-\fr{p}{3}}$}  que nous appellerons  $a$ et
  $-a$. On 
  obtient donc le tableau de variations suivant~: 

\medskip

 \begin{center}
\begin{tabular}{|c|lcccccr|}
\hline
$x$ & $-\infty$ & & $-a$ & &$a$&  &$+\infty$\\
\hline
Signe $f'(x)$ & &$+$ &0 &$-$&0 &$+$ & \\
\hline
 & & &$f(-a)$ & & & &$+\infty$\\
$f(x)$& &\croi& &\dec&   & \croi & \\
 &$-\infty$ & & & &$f(a)$ & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

Maintenant, il  faudrait connaître les  signes respectifs de  $f(-a)$ et
$f(a)$ pour  savoir si $f$  s'annule sur les  intervalles $]-\infty,a]$,
$[-a,a]$ et $[a,+\infty[$. 

 On montre que $f(a)=q-2a^3$ et  $f(-a)=q+2a^3$ en utilisant le fait que
 $f(a)=0$. (Faites-le~!)

\vspace{3cm}

Alors $f(a)\cdot f(-a)=$


On peut enfin remarquer que $f(a)<f(-a)$ car 

Entamons donc la discussion
\bel
\item Si $f(a)$ et $f(-a)$ sont tous deux de même signe, c'est à dire si
  $f(a)\cdot f(-a)>0$ soit encore si $4p^3+27q^2>0$ 
alors $f$ ne s'annule qu'une seule fois.
\vspace{3cm}
\item Si 
\vspace{3cm}
\item Si 
\vspace{3cm}

\elet


\end{itemize}

\subsection{Résolvons ces équations}

Plaçons-nous maintenant dans le cas $4p^3+27q^2>0$. Nous savons qu'alors
l'équation admet une unique solution réelle. 

%\break

Giralomo Cardano a établi\footnote{Vous  pouvez essayer de le prouver en
  posant $x=u+v$ et en  résolvant un système d'équations d'inconnues $u$
  et $v$ } en 1547 que cette solution est 

$$\sqrt[3]{\fr{-q}{2}+\sqrt{\fr{q^2}{4}+\fr{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{\fr{-q}{2}-\sqrt{\fr{q^2}{4}+\fr{p^3}{27}}}$$ 

\sm

Utilisez cette formule pour trouver une solution de $(E_1)~:\
x^3-36x-91=0$ \vspace{3cm}

On voudrait faire de même avec $(E_2)~:~x^3-15x-4=0$. Un problème apparaît...

\vspace{2cm}

Admettons qu'on puisse prolonger  les calculs usuels aux racines carrées
de  nombres  négatifs  en  utilisant  le  <<~symbole~>>  $\sqrt{-1}$  et
utilisons quand même la formule de notre ami italien. 

\vspace{3cm}

Bon,  on ne  semble pas  très avancé.  Alors un  petit coup  de  pouce :
calculez $\pa{2+\sqrt{-1}}^3$ et $\pa{2-\sqrt{-1}}^3$ 

\vspace{3cm}

On trouve  alors une solution  réelle $\al$ de $(E_2)$.  Or $4p^3+27q^2$
est négatif, donc on devrait  trouver deux autres racines réelles. Comme
on  en a  une,  cela veut  dire  qu'on peut  factoriser $x^3-15x-4$  par
$x-\al$ : faites-le ! 


\vspace{3cm}

Déduisez-en les deux autres solutions réelles.
\vspace{3cm}

Ainsi,  à partir de  ces travaux,  les mathématiciens  ont eu  l'idée de
prolonger les calculs algébriques aux expressions comportant des racines
carrées négatives.  Il faudra  attendre le XIX\eme  siècle pour  que ces
nombres <<~qui ne faisaient que  passer~>> aient droit de cité et soient
étudiés rigoureusement.  Il faudra attendre  la même époque pour  que le
héros  romantique  Evariste  Galois  propose  une  étude  théorique  des
équations de degré supérieur à 2, mais ceci est une autre histoire... 
 





\section{Approche \og moderne\fg{}}

\pro Vous savez  <<~compter en dimension 1~>>, c'est  à dire additionner
et multiplier des nombres réels qu'on peut représenter sur la droite des
réels : 

\bigskip

\begin{center}
\includegraphics{/home/moi/Lycee/TS/figures/limfonc.32}
\end{center}


Faute  d'outils  plus rigoureux\footnote{Vous  les  verrez peut-être  un
  jour...Il   y   a   plusieurs   manières  de   construire   l'ensemble
  $\bbr$.  Presque toutes  définissent  un nombre  réel  comme étant  la
  limite d'une  suite d'approximations par  des rationnels.}, on  vous a
présenté en classe  de seconde l'ensemble des nombres  réels comme étant
l'ensemble des abscisses des points de la droite orientée ci-dessus. 

Vous  utilisez depuis  l'école primaire  ces nombres  et  les opérations
usuelles qui leur sont  associées, addition et multiplication, sans trop
vous  poser  de  questions. Rappelons  quelques  propriétés\footnote{Ces
  propriétés donnent à $\bbr$ une structure de \textit{corps} : au temps
  préhistorique des  mes années de  collège, cette notion  algébrique de
  corps  était vue  en  4\eme et  maintenant  en math  sup. On  comprend
  pourquoi   tant   de   vos   parents   ont  été   effrayés   par   les
  mathématiques...}: 
\bel
\item L'addition possède un élément neutre noté 0 : $x+0=0+x=x$.
\item La somme de 2 réels est encore un réel.
\item Chaque réel $x$ admet un opposé $-x$ vérifiant $x+(-x)=(-x)+x=0$.
\item  La multiplication  possède un  élément neutre  noté 1  : $x\times
  1=1\times x=x$ 
\item Le produit de deux réels est encore un réel.
\item Chaque  réel différent  de 0 admet  un inverse  $x^{-1}$ vérifiant
  $x\times x^{-1}=x^{-1}\times x=1$ 
\item   La   multiplication    est   distributive   sur   l'addition   :
  $x\times(y+z)=x\times y + x\times z$. 
\elet

Tout ceci est bien naturel. Maintenant, on voudrait décoler de l'axe des
réels  et faire  le même  travail en  dimension 2,  c'est-à-dire pouvoir
calculer avec des couples de nombres du style $(x,y)$.

\tsx \c Ca veut dire qu'on travaille maintenant sur le plan tout entier ?

\pro  C'est  ça.  On  note   $\bbr^2$  cet  ensemble  :  l'ensemble  des
coordonnées des points du plan  ! Est-ce qu'on peut définir une addition
et une multiplication qui  engloberaient et généraliseraient celles vues
dans $\bbr$ ? 

\tsx Ben pour l'addition, on fait $(x,y)+(x',y')=(x+x',y+y')$.

\pro Pourquoi pas ! Vérifions que les  propriétés de l'addition sont vérifiées.

\tsx On a un élément neutre : (0,0) car $(x,y)+(0,0)=\cacheb{(x+0,y+0)=(x,y)}$.

\pro  Et  surtout l'élément  neutre  de  $\bbr^2$  se situe  <<~au  même
endroit~>> que celui de $\bbr$ : on l'a juste <<~gonflé~>> d'un deuxième
zéro pour être reconnu dans $\bbr^2$. 

\tsx   Et  pour   le   symétrique,  on   prend  \cacheb{$(-x,-y)$}   car
$(x,y)+\cacheb{(-x,-y)}=\cacheb{(0,0)}$ l'élément neutre. 

\pro En effet. Et pour la multiplication ?

\tsx  \c  Ca  doit  être pareil  :  $(x,y)\times(x',y')=(xx',yy')$  avec
$(1,1)$ comme élément neutre. 

\pro  Pourquoi   pas,  mais  dans   ce  cas,  l'élément  neutre   de  la
multiplication  dans $\bbr^2$ ne  serait pas  <<~au même  endroit~>> que
celui de $\bbr$ 



\begin{center}
\includegraphics{/home/moi/Lycee/TS/figures/limfonc.33}
\end{center}

On   voudrait   plutôt   un   élément   neutre   (1,0)   et   donc   que
$(x,y)\times(1,0)=(x,y)$. Je vous propose la multiplication suivante 
$$(x,y)\times(x',y')=(xx'-yy',xy'+x'y)$$

\tsx                 Fichtre!                 Essayons                 :
$(x,y)\times(1,0)=\cacheb{(x\times1-y\times0,x\times0+y\times1)=(x,y)}$. \c
Ca marche. 

\pro Je  vous laisse vérifier que cette  multiplication est distributive
sur  l'addition et  que tout  élément $(x,y)$  de $\bbr^2$  différent de
$(0,0)$ admet un inverse $\pa{\fr{x}{x^2+y^2},-\fr{y}{x^2+y^2}}$. 

\tsx Je suis impressionné par ce  petit exposé, mais je ne vois pas trop
le lien avec le $\sqrt{-1}$ du paragraphe précédent. 

\pro Et bien observez $(0,1)$ et élevez-le au carré.

\tsx Allons-y :  $(0,1)\times (0,1)=\cacheb{(0-1,0+0)=(-1,0)}$, bon et alors ?
\pro Alors $(-1,0)$, c'est le réel $-1$ <<~gonflé~>>. Donc $\sqrt{-1}$ a
un  <<~représentant~>> dans  $\bbr^2$. Dans  le plan,  il  correspond au
point de coordonnées $(0,1)$. Et  donc nous allons pouvoir calculer avec
ce  fameux  nombre  $\sqrt{-1}$  assez  naturellemnt  en  utilisant  les
opérations décrites précédemment. 

\tsx Naturellement, c'est  beaucoup dire ! C'est un  peu compliqué comme
multiplication. 

\pro Je  vous l'accorde.  C'est  pourquoi nous allons adopter  une autre
tactique.  \`A chaque  élément  $(x,y)$ de  $\bbr^2$  nous allons  faire
correspondre un nombre qu'on qualifiera de \textit{complexe}. 

L'idée    vient    de   l'observation    \textit{intuitive}\footnote{Les
  $\curvearrowright$  renvoient à une  notion extrêmement  importante et
  rigoureuse  : la notion  d'\textit{isomorphisme}. Deux  ensembles sont
  isomorphes lorsqu'il existe une bijection  entre les deux et que cette
  bijection  <<~conserve~>> les  opérations. Cela  permet  de travailler
  \textit{à  isomorphisme   près}  sur  un  ensemble   compliqué  en  le
  remplaçant   par   un  ensemble   isomorphe   plus   approprié  à   la
  situation.  C'est ce  qui se  passe entre  $\bbr^2$ et  $\bbc$}  : <<~
$(x,y)\curvearrowright  x\cdot(1,0)+y\cdot (0,1)\curvearrowright x\times
1+y\times \sqrt{-1}\curvearrowright x+y\sqrt{-1}$~>> 


Nous allons même  donner un nom à ce $\sqrt{-1}$  : appelons-le $i$ pour
qu'il fasse moins peur. Ainsi nous avons les correspondances 

\begin{center}
\begin{tabular}{ccccc}
Le   point   M   &$\longleftrightarrow$    &   Le   couple   $(x,y)$   &
$\longleftrightarrow$ & Le nombre complexe $x+iy$\\ 
$\updownarrow$ & &  $\updownarrow$ & & $\updownarrow$ \\
Le plan $\PR$  & $\longleftrightarrow$ & $\bbr^2$ &$\longleftrightarrow$
& L'ensemble des nombres complexes 
\end{tabular}
\end{center}


Pour se simplifier la vie, nous  allons donner un nom à cet ensemble des
nombres complexes : $\bbc$.. 
Et  maintenant   observez  comme  les  calculs   deviennent  faciles  en
prologeant les règles valables sur $\bbr$ ! 

\tsx Si vous le dites : $(x+iy) + (x'+iy')= x+iy+x'+iy'=(x+x')+i(y+y')$

\pro Comme nous avions $(x,y)+(x',y')=(x+x',y+y')$, mais en plus simple.

\tsx Et $(x+iy)\cdot(x'+iy')=xx'+ixy'+iyx'+i^2yy'$

\pro N'oubliez pas que $i^2=-1$

\tsx Alors $(x+iy)\cdot(x'+iy')=(xx'-yy')+i(xy'+yx')$

\pro Comme nous avions $(x,y)\times (x',y')=(xx'-yy',xy'+yx')$. 

Donc nous  allons pouvoir  calculer en dimension  2 en  généralisant les
règles de  dimension 1. Nous avons  juste ajouté ce nombre  $i$ de carré
$-1$.   En  particulier,  tous   les  nombres  réels  sont  des  nombres
complexes : $\bbr\subset\bbc$.  

Nous allons pouvoir  associer à chacun de ces nombres  réels un point du
plan et  donc associer  des transformations du  plan à des  calculs dans
$\bbc$ : on va résoudre des problèmes de géométrie par le calcul. 
 

\sm

Si  vous avez  compris ces  relations,  tout ce  qui va  suivre va  vous
paraître <<~trop~>> simple.... 


\section{Vocabulaire et premières propriétés}




\begin{figure}
  \begin{Theoreme}[Ensemble $\bbc$]
On  définit un ensemble $\bbc$ 
\bel
\item muni d'une addition et d'une multiplication qui prolongent celles de $\bbr$
\item contenant un nombre $i$ vérifiant $i^2=-1$ 
\item  tel que chaque  élément $z$  de $\bbc$  peut s'écrire  de manière
  \textbf{unique}  sous   la  forme   $$z=a+ib  \quad  \text{avec   }  a
  \text{ et } b \text{ des nombres réels}$$ 
\elet
    
    \end{Theoreme}
  \end{figure}



\subsection{Forme algébrique}

Cette écriture unique est appelée \textbf{forme algébrique} du réel $z$.

Le nombre $a$ est appellé \textbf{partie réelle} de  $z$ et notée $\RR e(z)$

Le nombre $b$ est appellé \textbf{partie imaginaire} de  $z$ et notée $\IR m(z)$

\begin{figure}
  \begin{DANGER}
    $\IR m(z)$ est \cacher{un nombre réel}.
    \end{DANGER}
  \end{figure}


  \begin{figure}
    \begin{Idee}{\`A quoi sert l'unicité de la forme algébrique ?}
Par exemple,  après maints calculs  savants, vous arrivez au  résultat $
2x+3y-5+i(7x-32y+1)=0$ avec $x$ et $y$  des réels.  Et bien le membre de
gauche  est   une  forme   algébrique  puisque  de   la  forme   réel  +
$i\cdot$réel. Or la forme algébrique de 0 est $0+i\cdot0$.  

Ainsi,  une   équation  complexe   revient  à  deux   équations  réelles
( bienvenue dans la deuxième dimension... ) et donc 

\cacheg{$    2x+3y-5+i(7x-32y+1)=0   \Longleftrightarrow   \begin{cases}
    2x+3y-5=0\\ 7x-32y+1=0\end{cases}$} 
\end{Idee}
\end{figure}

\subsection{Le plan complexe}

Nous avons vu que chaque nombre complexe peut être associé à un point du
plan qu'on munit d'un repère $\pa{O,\ve{e_1},\ve{e_2}}$ 


\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics{limfonc.34}
\end{center}
\end{figure}





\`A tout nombre complexe $z=a+ib$ on associe le point $M$ de coordonnées
$(a,b)$ qu'on  appelle \textbf{image} de  complexe $z=a+ib$. On  le note
souvent $M(z)$. 

Inversement, à tout point $M$ du plan de coordonnées $(a,b)$, on associe
son \textbf{affixe} $z=a+ib$ qu'on note souvent $z_M$. 

Enfin,  à  tout   vecteur  $\ve{u}=a\ve{e_1}+b\ve{e_2}$  de  coordonnées
$(a,b)$  dans la  base $\pa{\ve{e_1},\ve{e_2}}$  est associé  une affixe
$z_{\ve{u}}=a+ib$ 



\subsection{Premiers calculs géométriques}

\bel

\item  Soient   $\ve{u}$  et  $\ve{v}$  deux   vecteurs  de  coordonnées
  respectives         $(a,b)$         et        $(a',b')$,         alors
  $\ve{u}+\ve{v}=(a+a')\ve{e_1}+(b+b')\ve{e_2}$, donc 

  \begin{figure}[!h]
    \begin{Propriete}[affixe d'une somme]
      \[z_{\ve{u}+\ve{v}}=\cacheg{z_{\ve{u}}+z_{\ve{v}}}\]
      \end{Propriete}
    \end{figure}




\item De même, si $\la$ est un nombre réel 

  \begin{figure}[!h]
    \begin{Propriete}[affixe du produit par un réel]
      \[z_{\la \ve{u}}=\cacheg{\la z_{\ve{u}}}\]
      \end{Propriete}
    \end{figure}


\item Alors, si  $I$ est le \textbf{milieu} du segment $[A,B]$, on a


  \begin{figure}[!h]
    \begin{Propriete}[affixe du milieu]
      \[z_I=\cacheg{\ud(z_A+z_B)}\]
      \end{Propriete}
    \end{figure}




\item Pour tous points $A$ et $B$ 

  \begin{figure}[!h]
    \begin{Propriete}[affixe d'un vecteur ]
      \[z_{\ve{AB}}=\cacheg{z_B-z_A}\]
      \end{Propriete}
    \end{figure}

\elet


\subsection{Conjugué d'un complexe}
\begin{figure}
  \begin{Definition}[Conjugué]
    On appelle conjugué du nombre complexe $z=a+ib$ le nombre $$\cacheg{\overline{z}=a-ib}$$
    \end{Definition}
  \end{figure}



Géométriquement cela donne 



\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics{limfonc.35}
\end{center}
\end{figure}



Je vous laisse prouver les propriétés immédiates suivantes~:


\begin{figure}
  \begin{Propriete}[]
    \bel
\item $M(z)$ et $M'(\overline{z})$ sont symétriques par rapport à l'axe $(O,\ve{e_1})$
\item $\overline{z_1+z_2}=\cacheg{\overline{z_1}+\overline{z_2}}$
\item $\overline{z_1z_2}=\cacheg{\overline{z_1}\ \, \overline{z_2}}$
\item $\overline{\overline{z}}=\cacheg{z}$
\item $z\in\bbr\Longleftrightarrow z=\cacheg{\overline{z}}$
\item $z\in i\bbr\Longleftrightarrow z=\cacheg{-\overline{z}}$
\item $\RR e(z)=\cacheg{\ud(z+\overline{z})}$
\item $\IR m(z)=\cacheg{\ud(z-\overline{z})}$
\item Si $z=a+ib$, alors $z\overline{z}=\cacheg{a^2+b^2}$
\elet
    \end{Propriete}
  \end{figure}



\subsection{\`A quoi servent les conjugués ?}


\subsubsection{\`A montrer qu'un complexe est un réel}

En  effet, si  on arrive  à montrer  que $\overline{z}=z$,  alors  on en
conclut que $z$ est réel.\textbf{ Pourquoi~?}

\subsubsection{\`A rendre réel des dénominateurs pour obtenir des formes
  algébriques} 

En
effet, $$z\cdot\overline{z}=(a+ib)(a-ib)=\cacheb{a^2-(ib)^2=a^2+b^2}$$ 


\begin{figure}
  \begin{Exemple}[]
    Ainsi, pour obtenir la forme algébrique de l'inverse de $2+i$~: 

$\fr{1}{2+i}=\cacheb{\fr{1}{2+i}\times\fr{2-i}{2-i}=\fr{2+i}{4+1}=\fr{2}{5}+\fr{1}{5}i}$ 
    \end{Exemple}
  \end{figure}

\subsection{Conjugué de l'inverse}


Sachant qu'un complexe non nul $z$ admet une forme algébrique $a+ib$, on
sait maintenant trouver la forme algébrique de son inverse~:


\vspace{3cm}

et donc $\overline{\left(\dfrac{1}{z}\right)}=$


\subsection{Module d'un nombre complexe}


\begin{figure}
  \begin{Definition}[Module]
    Le module du complexe  $z$ est le réel positif noté $|z|$ tel que $$|z|=\sqrt{z\ \,\overline{z}}$$
    \end{Definition}
  \end{figure}


  \begin{figure}
    \begin{Remarque}[]
      \bel
\item Cette définition en est bien une car $z\ \,\overline{z}=a^2+b^2$ d'après notre étude sur les conjugués. 
\item Si $a$ est un réel, $|a|=\sqrt{a\ \,\overline{a}}=\cacheg{\sqrt{aa}=\sqrt{a^2}}$ car $\overline{a}=a$. Donc le module de $a$ est bien la valeur absolue de $a$ et notre notation est cohérente.

La notion de module dans $\bbc$ généralise donc celle de valeur absolue dans $\bbr$.
\elet
      \end{Remarque}
    \end{figure}


\subsubsection{Interprétation géométrique}


\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics{limfonc.36}
\end{center}
\end{figure}




Nous venons de voir que, si $z=a+ib$, alors 


\begin{figure}[!h]
  \begin{Propriete}[]
    \[|z|=\sqrt{a^2+b^2}\]
    \end{Propriete}
  \end{figure}


Or,  qu'est-ce que  $\sqrt{a^2+b^2}$ si  ce  n'est la  norme du  vecteur
$\ve{OM}$ ou encore la longueur $OM$. 


\begin{figure}[!h]
  \begin{Propriete}[]
    \[\ab{z_M}=\nov{OM}=OM\qquad \ab{z_{\ve{u}}}=\nov{u}\]
    \end{Propriete}
  \end{figure}



\subsubsection{Propriétés des modules}

Je vous laisse prouver les propriétés suivantes




\begin{figure}
  \begin{Propriete}[]
    \bel
\item $\ab{\overline{z}}=\cacheg{\ab{z}}$
\item $\ab{z}=0\ssi \cacheg{ z=0}$
\item $\ab{z_1\cdot z_2}=\cacheg{\ab{z_1}\cdot\ab{z_2}}$
\item $\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=$
\item $\RR e(z)\ie \cacheg{\ab{z}}$
\item $\IR m(z)\ie \cacheg{\ab{z}}$
\elet
    \end{Propriete}
  \end{figure}


La propriété suivante mérite une petite aide à la démonstration

\begin{figure}
  \begin{Propriete}[Inégalité triangulaire]
    $$\ab{z_1+z_2}\ie\ab{z_1}+\ab{z_2}$$
    \end{Propriete}
  \end{figure}



C'est  à dire, pour  aller de  Nantes à  Montaigu, il  est plus  long de
passer par Bratislava que de suivre la RN 137.  

Pour les curieux, voici comment cela se démontre.

\sm

Comme les deux membres de l'inégalité sont positifs, il suffit donc de comparer les carrés de chaque membre.

Or
$\ab{z_1+z_2}^2=\pa{z_1+z_2}\pa{\overline{z_1+z_2}}=(z_1+z_2)\pa{\overline{z_1}+\overline{z_2}}=\ab{z_1}^2+\pa{z_1\overline{z_2} 
+\overline{z_1}z_2}+\ab{z_2}^2$

\sm

D'autre part $\pa{\ab{z_1}+\ab{z_2}}^2=\ab{z_1}^2+2\ab{z_1z_2}+\ab{z_2}^2$

Il s'agit donc de comparer les <<~doubles produits~>>.

Or                                                     $z_1\overline{z_2}
+\overline{z_1}z_2=z_1\overline{z_2}+\overline{z_1\overline{z_2}}=2\RR
e\pa{z_1z_2}\ie 2\ab{z_1z_2}$ d'après une propriété ci-dessus. Donc 
$$\ab{z_1+z_2}^2=\ab{z_1}^2+\pa{z_1\overline{z_2}
+\overline{z_1}z_2}+\ab{z_2}^2\ie\ab{z_1}^2+2\ab{z_1z_2}+\ab{z_2}^2=\pa{\ab{z_1}+\ab{z_2}}^2$$




\section{R\'esolution d'\'equations du second degr\'e}

\subsection{Racine carrée d'un nombre complexe}

L'objet de cette section est de résoudre dans $\bbc$ l'équation $z^2=\al$

\subsubsection{Racine carrée d'un nombre réel}

On suppose ici que $\al$ est un réel.


\bel
\item \boldmath $\al\se 0$\unboldmath : alors $z^2=\al\ssi 
  z^2-\al=$\cacher{$(z-\sqrt{\al})(z+\sqrt{\al})=0$}.  Les 
  solutions\footnote{LA solution si $\al=0$} 
  sont donc \cacher{$\pm \sqrt{\al}$}

  \begin{figure}
    \begin{Exemple}[]
      On connaît : $z^2=4\ssi $\cacheb{$z=-2$} ou \cacheb{$z=2$}
      \end{Exemple}
    \end{figure}



\item    \boldmath   $\al<    0$\unboldmath    :   alors    $z^2=\al\ssi
  (z-i\sqrt{-\al})(z+i\sqrt{-\al})=0$.  Les  solutions  sont  donc  $\pm
  i\sqrt{-\al}$ 


  \begin{figure}
    \begin{Exemple}[]
      C'est la nouveauté : $z^2=-4\ssi$ \cacheb{$z=-2i$} ou \cacheb{$z=2i$}
      \end{Exemple}
    \end{figure}

\elet


\subsubsection{Racine carrée d'un complexe non réel}

Les choses se  compliquent ! Nous allons traiter un  exemple pour ne pas
vous faire (trop) peur.  


\begin{figure}
  \begin{Exemple}[]
    
Cherchons les racines carrées de $4+3i$, à savoir les nombres
$a+ib$ tels que $(a+ib)^2=a^2-b^2+2iab=4+3i$. 
    \end{Exemple}
  \end{figure}

 Par unicité de la forme algébrique on obtient 

$\bsyc a^2-b^2&=&4\\a^2+b^2&=&5\\2ab&=&3\esyc$

Ainsi $a^2=$\cacher{$9/2$} et $b^2=$\cacher{$1/2$}, donc $a=$\cacher{$\pm3\sqrt{2}/2$} et
$b=$\cacher{$\pm\sqrt{2}/2$}, or $2ab=3$, donc $a$ et $b$ sont \cacher{de même signe}.

Les solutions sont donc \cacher{$\fr{\sqrt{2}}{2}(3+i)$} et
\cacher{$-\fr{\sqrt{2}}{2}(3+i)$}



\subsection{Résolution de \boldmath$ax^2+bx+c=0\quad \text{avec} \ a,\ b 
  \ \text{ et }\ c$ \unboldmath des réels} 

C'est        comme       en        1\ere        :       $ax^2+bx+c=0\ssi
a\Big[\big(x+\fr{b}{2a}\big)^2-\fr{b^2-4ac}{4a^2}\Big]=0\ssi
\bigl(x+\fr{b}{2a}\bigr)^2=\fr{b^2-4ac}{(2a)^2}$ 

Tout dépend donc du signe de $b^2-4ac$, puis on utilise les résultats de la section précédente.


\begin{figure}
  \begin{Theoreme}[Résolution  de \boldmath$ax^2+bx+c=0\quad \text{avec}
    \ a,\ b \ \text{ et }\ c$ \unboldmath des réels] 
    L'équation $ax^2+bx+c=0$ admet toujours des solutions sur $\bbc$. 
Notons  $\Delta=b^2-4ac$  le   \textbf{discriminant}  de  l'équation  et
$\delta$ le \emph{complexe} vérifiant $\delta^2=\Delta$.
\bel
\item Si $\Delta=0$, il existe une unique solution \cacheg{$x=-\fr{b}{2a}$}
\item Si $\Delta>0$, il existe deux solutions réelles  \cacheg{$x=\fr{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$}
\item  Si  $\Delta<0$, il  existe  deux  solutions complexes  conjuguées
  \cacheg{$x=\fr{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$} 
\elet
    \end{Theoreme}
  \end{figure}


\pagebreak

\section{FORME TRIGONOM\'ETRIQUE}

\subsection{Argument d'un complexe non nul}

\subsubsection{Forme trigonométrique}

Vous vous  souvenez de la correspondance  entre $\bbc$ et  le Plan. Nous
avions privilégié les coordonnées  cartésiennes d'un point. On aurait pu
utiliser tout  aussi bien ses  \textbf{coordonnées polaires}. Le  Plan a
cette fois besoin  d'être orienté (il le sera  implicitement à partir de
maintenant). 



\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics{limfonc.37}
\end{center}
\end{figure}



Ainsi, $(r,\theta)$  étant le couple de coordonnées  polaires de l'image
$M$  de  $z$, on  a  $z=r\cos\theta+ir\sin\theta$  déterminé de  manière
unique, car c'est  en fait une forme algébrique  déguisée : on l'appelle
\textbf{forme trigonométrique} du complexe $z$. 


\begin{figure}[!h]
  \begin{Definition}[forme trigonométrique]
    \[z=r\pa{\cos\theta+i\sin\theta}\]
    \end{Definition}
  \end{figure}


  \begin{figure}[!h]
    \begin{Remarque}[notation en électronique]
      
Les électroniciens notent souvent ce résultat sous la forme~: $z=\cro{r,\theta}$
      \end{Remarque}
    \end{figure}




\subsubsection{Congruence modulo 2$\pi$}

Vous  rencontrerez souvent  la  notation $x\equiv  y[2\pi]$  qui se  lit
<<~$x$ est congru à $y$  modulo 2$\pi$~>>. Elle veut simplement dire que
$x-y$ est  un multiple de  $2\pi$, c'est-à-dire qu'il existe  un entier
relatif $k$ tel que $x-y=k\times 2\pi$. 


\begin{figure}[!h]
  \begin{Retenir}[congruence modulo $2\pi$]
    \[x\equiv y[2\pi]\ssi \text{ il existe } k\in\bbz \text{ tel que } x=y+2k\pi\]
    \end{Retenir}
  \end{figure}


Par      exemple,       vous      savez      que      $\fr{\pi}{3}\equiv
\fr{4\pi}{3}[2\pi]$~:~dessinez un cercle 
trigonométrique pour vous en convaincre.

\subsubsection{Mesure d'un angle de vecteurs}

Nous n'avons  pas les moyens  de définir <<~proprement~>> les  angles de
vecteurs.  Nous n'en  avons  qu'une définition  intuitive.  Ce qui  nous
intéresse, c'est  que $\theta$ est UNE  mesure en radians  de l'angle de
vecteurs  $\pa{\ve{e_1},\ve{OM}}$.  UNE  mesure,  car elle  est  définie
modulo 2$\pi$.  Et bien cette mesure  sera UN argument  du complexe $z$,
qu'on notera $\arg z$. 
On retiendra~:

\begin{figure}[!h]
  \begin{Propriete}[argument]
    \[\arg z\equiv \theta[2\pi]\]
    \end{Propriete}
  \end{figure}



Par exemple, $\arg 32\equiv 0[2\pi]$, $\arg 32 i\equiv \fr{\pi}{2}[2\pi]$.

\subsubsection{Des formes trigonométriques de référence}

\bel

\item $1=\cos 0+i\sin 0$  donc \cacher{$|1|=1$ et $\arg(1)\equiv 0[2\pi]$}
\item         $i=\cos\pa{\fr{\pi}{2}}+i\sin\pa{\fr{\pi}{2}}$        donc
  \cacher{$|i|=1$ et $\arg(i)\equiv\pa{\fr{\pi}{2}}[2\pi]$} 
\item                         $|1+i|=\sqrt{2}$                        et
  $1+i=\sqrt{2}\pa{\fr{\sqrt{2}}{2}+i\fr{\sqrt{2}}{2}}=$\cacher{$\sqrt{2}\pa{\cos\pa{\fr{\pi}{4}}+i\sin\pa{\fr{\pi}{4}}}$} 
donc \cacher{$\arg(1+i)\equiv\pa{\fr{\pi}{4}}[2\pi]$} 
\item    $|\sqrt{3}+i|=2$    et    $\sqrt{3}+i=2\pa{\fr{\sqrt{3}}{2}+\ud
    i}=$\cacher{$2\pa{\cos\pa{\fr{\pi}{6}}+i\sin\pa{\fr{\pi}{6}}}$} 
donc \cacher{$\arg(\sqrt{3}+i)\equiv\pa{\fr{\pi}{6}}[2\pi]$} 
\elet



\subsection{Correspondance forme algébrique / forme trigonométrique} 


Soit  $z$   le  complexe  de   forme  algébrique  $a+ib$  et   de  forme
trigonométrique $r\pa{\cos\theta+i\sin\theta}$ alors on a d'une part~: 

\begin{figure}[!h]
  \begin{Propriete}[forme algébrique connaissant la forme trigonométrique]
$a=$\cacheg{$r\cos\theta$}$\qquad b=$\cacheg{$r\sin\theta$}    
    \end{Propriete}
  \end{figure}



et d'autre part $r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}$.



Si $z$ est \textit{non nul},  son module $r=\sqrt{a^2+b^2}$ sera non nul
également. Ainsi, nous pouvons écrire $z$ sous la forme 

\begin{center}
\begin{arrayl}
z&=& \sqrt{a^2+b^2}\pa{\fr{a}{\sqrt{a^2+b^2}}+\I\fr{b}{\sqrt{a^2+b^2}}}\\
   &=& r\pa{\fr{a}{\sqrt{a^2+b^2}}+\I\fr{b}{\sqrt{a^2+b^2}}}\\
    &=& r\pa{\cos(\theta)+\I\sin(\theta)}
\end{arrayl}
\end{center}

Nous en déduisons que~:


\begin{figure}[!h]
  \begin{Propriete}[forme trigonométrique en fonction de la forme algébrique]
$\cos(\theta)=$\cacheg{$\fr{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$}$\qquad
\sin(\theta)=$\cacheg{$\fr{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$} 
    \end{Propriete}
  \end{figure}




Ainsi, connaissant $a$ et $b$, on  peut obtenir le module et un argument
de  $a+\I   b$.  On   obtiendra  une  mesure   exacte  de   $\theta$  si
$\cos(\theta)$  et   $\sin(\theta)$  sont  des   valeurs  connues  comme
$\ofr{1}{2}$, $\ofr{\sqrt{3}}{2}$, 1, etc. 

Sinon,  on   obtiendra  une  valeur  approchée  à   l'aide  des  touches
\keystroke{COS\textsuperscript{-1}}                                    et
\keystroke{SIN\textsuperscript{-1}},        ou        encore        avec
\keystroke{TAN\textsuperscript{-1}}. En  effet, $\cos(\theta)$ étant non
nul\footnote{Sinon, on sait qui est $\theta$...}, 


\begin{figure}[!h]
  \begin{Propriete}[argument en fonction de la forme algébrique]
$\tan(\theta)=\fr{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}=\fr{\fr{b}{\sqrt{a^2+b^2}}}{\fr{a}{\sqrt{a^2+b^2}}}=$\cacheg{$\fr{b}{a}$} 
    \end{Propriete}
  \end{figure}




ce qui déterminera une valeur de l'argument modulo $\pi$. 



\begin{center}
\begin{figure}
\includegraphics[height=5cm]{cercleTrigo.6}%\caption{La   tangente   est
                                %déterminée à $\pi$ près} 
\end{figure}
\end{center}







Il  suffira ensuite  de  considérer  le signe  de  $\cos(\theta)$ ou  de
$\sin(\theta)$ pour savoir à qui on a affaire. 
















\subsection{Opérations sur les formes trigonométriques}

Soit $z=r\pa{\cos\theta+i\sin\theta}$ et $z'=r'\pa{\cos\theta'+i\sin\theta'}$,  alors 
$$zz'=rr'\cro{\pa{\cos\theta\cos\theta'-\sin\theta\sin\theta'}+i\pa{\sin\theta\cos\theta'+\cos\theta\sin\theta'}}$$ 
Vous qui connaissez parfaitement vos formules d'addition(\vref{addi}), vous en déduisez que 
$$zz'=z=rr'\pa{\cos\pa{\theta+\theta'}+i\sin\pa{\theta+\theta}'}$$

Ainsi, nous arrivons au résultat capital 

\begin{figure}[!h]
  \begin{Propriete}[argument d'un produit]
    $\arg(zz')=$\cacheg{$\arg(z)+\arg(z') \,[2\pi]$}
    \end{Propriete}
  \end{figure}




Cela va VOUS permettre de démontrer les propriétés suivantes avec un peu d'astuce et de patience


\begin{figure}
  \begin{Propriete}[Propriétés algébriques des arguments]
    \bel
\item $\arg(zz')=$\cacheg{$\arg(z)+\arg(z') \,[2\pi]$}
\item $\arg(z^n)=$\cacheg{$n\arg(z)\,[2\pi]$}
\item $\arg\pa{\fr{1}{z}}=$\cacheg{$-\arg(z)\,[2\pi]$}
\item $\arg\pa{\fr{z}{z'}}=$\cacheg{$\arg(z)-\arg(z')\,[2\pi]$}
\item $\arg(\overline{z})=$\cacheg{$-\arg(z)\,[2\pi]$}
\item $\arg(-z)=$\cacheg{$\pi+\arg(z)\,[2\pi]$}
\elet
    \end{Propriete}
  \end{figure}


En particulier, la formule concernant $z^n$ nous permet d'écrire


\begin{figure}
  \begin{Theoreme}[Formule de Moivre]
    \begin{center}
     $\pa{\cos \theta+j\sin\theta}^n= $\cacheg{$\cos(n\theta)+j\sin(n\theta)$}
    \end{center}
    \end{Theoreme}
  \end{figure}




Nous nous rendons ainsi compte que~:

\begin{figure}[!h]
  \begin{Retenir}[]
    \bel
\item  Les   formes  trigonométriques  sont  adaptés   aux  produits  de
  complexes~;
\item Les formes algébriques sont adaptées aux sommes de complexes.
  \elet
    \end{Retenir}
  \end{figure}






Vous  serez amenés  au hasard  d'exercices  à résoudre  des équations  à
coefficients  complexes, mais  on  n'attend de  vous aucun  savoir-faire
particulier : vous serez guidés pas à pas. 





\section{Les objets géométriques et les complexes}

\subsection{De l'objet au complexe}

\subsubsection{Comment caract\'eriser un cercle ?}

Le cercle de centre $A$ et de rayon $R$ est l'ensemble des points situés
à la distance  $R$ de $A$. Il est facile de  traduire simplement cela en
langage complexe... 

\begin{figure}[!h]
  \begin{Retenir}[caractérisation d'un cercle]
    \[M(z)\in\CR(A,R)\ssi \ab{z-z_A}=R\]
    \end{Retenir}
  \end{figure}




\subsubsection{Comment caractériser un triangle isocèle ?}

C'est  encore une  histoire  de distance,  donc  de module  : $ABC$  est
isocèle de sommet principal $A$ si et seulement si $AB=AC$ donc 


\begin{figure}[!h]
  \begin{Retenir}[triangle isocèle]
    $ABC$     isocèle     de      sommet     principal     $A$     $\ssi
    \ab{z_B-z_A}=\ab{z_C-z_A}\ssi \ab{\fr{z_B-z_A}{z_C-z_A}}=1$ 
    \end{Retenir}
  \end{figure}



\subsubsection{Comment caractériser un triangle rectangle ?}

On peut encore parler distance grâce au théorème de Pythagore 
\[|z_C-z_B|^2=|z_B-z_A|^2+|z_C-z_A|^2\]

ou angle droit : mais c'est l'angle géométrique qui nous intéresse, donc
nous travaillerons modulo $\pi$ 
$$\pa{\ve{AB},\ve{AC}}=\pa{\ve{AB},\ve{e_1}}+\pa{\ve{e_1},\ve{AC}}=-\pa{\ve{e_1},\ve{AB}}+\pa{\ve{e_1},\ve{AC}}=-\arg\pa{z_{\ve{AB}}}+\arg\pa{z_{\ve{AC}}}=\arg\pa{\fr{z_{\ve{AC}}}{z_{\ve{AB}}}}=\arg\pa{\fr{z_C-z_A}{z_B-z_A}} $$ 

\begin{figure}[!h]
  \begin{Retenir}[triangle rectangle]
    $\pa{\ve{AB},\ve{AC}}\equiv\fr{\pi}{2}\,[\pi]\ssi
  \arg\pa{\fr{z_C-z_A}{z_B-z_A}}\equiv\fr{\pi}{2}\,[2\pi]$ 
    \end{Retenir}
  \end{figure}



\subsubsection{Comment caractériser les différents quadrilatères ?} 


Petite révision de collège...


\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=8cm]{limfonc.38}
\end{center}
\end{figure}




qu'il vous suffira d'adapter connaissant ce qui précède.

%\subsubsection{Comment caractériser une droite ?}





%\subsubsection{Comment caractériser certaines applications du plan ?}




\subsection{Du complexe à l'objet}




\subsubsection{Que représente $z-32+5i$ ?}

 Soit $A$ le point d'affixe $32-5i$ et $M$ le point d'affixe $z$, alors
 $z-32+5i=z_M-z_A=z_{\ve{AM}}$



\subsubsection{Comment interpréter $|z-32+5i|=3$ ?}

D'après ce qui précède, on aboutit à $AM=3$ : il s'agit donc du cercle de centre $A$ et de rayon 3.

\subsubsection{Comment interpréter $|32+iz|=5$ ?}

 $|32+iz|=|i(-32i+z)|=|i|\times|z-32i|=|z-32i|=BM$ avec $M$ le
 point d'affixe $z$ et $B$ le point d'affixe $32i$. On retombe donc sur un cercle.


\subsubsection{Comment interpréter $|z-a|=|z-b|$ ?}

Soit $M$ d'affixe $z$, $A$ d'affixe $a$ et $B$ d'affixe $b$. Alors
l'égalité se traduit par $AM=BM$, donc $M$ est équidistant de $A$
et $B$, donc $M$ est sur la médiatrice de $[AB]$.

\subsubsection{Que     se     cache-t-il     derrière    le     quotient
  $\fr{z_C-z_A}{z_B-z_A}$ ?} 

Il             suffit            de             remarquer            que
$\fr{z_C-z_A}{z_B-z_A}=\fr{z_{\ve{AC}}}{z_{\ve{AB}}}$.     Donc     vous
utiliserez le fait que \bel 
\item $\arg(\fr{z_C-z_A}{z_B-z_A})=(\ve{e_1},\ve{AC})-(\ve{e_1},\ve{AB})=(\ve{AB},\ve{AC})$
\item $\left|\fr{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right|=\fr{AC}{AB}$
\elet



Dans  d'autres  cas,  vous  serez confrontés  à  l'interprétation  d'une
égalité du style $\fr{z_C-z_A}{z_B-z_A}=\la$ qui se traduit par 
$z_{\ve{AC}}=\la z_{\ve{AB}}$, donc \bel 
\item si  $\la\in\bbr$, alors $\ve{AC}=\la\ve{AB}$  et donc $A$,  $B$ et
  $C$ sont alignés.  
\item  si  $\la\in  i\bbr$, $z_{\ve{AC}}=\pm|\la|iz_{\ve{AB}}$  et  donc
  $\arg\pa{z_{\ve{AC}}}\equiv\pm\fr{\pi}{2}+\arg\pa{z_{\ve{AC}}}\,[2\pi]$
  c'est à dire $(AC)\bot(AB)$ 
\item si $\la=\pm i$, alors le triangle $ABC$ est isocèle et rectangle en $A$ 
%\item si $\la=e^{\pm i\pi/3}$, alors le triangle ABC est équilatéral

\elet



\subsubsection{Comment                                        interpréter
  $\ao{MA}{MB}\equiv\fr{\pi}{2}[\pi]$ ? } 
%$\pa{\ve{MA},\ve{MB}} $}%\

On  déduit de cette relation que le triangle
$AMB$ est  rectangle en $M$, donc  que $M$ décrit le  cercle de diamètre
$[AB]$ privé des points $A$ et $B$. 


\subsection{En attendant la deuxième partie du cours...}


\sm Soit $z=3+2i$, alors $-1\times z=-3-2i$ et $i\times
z=3i+2i^2=-2+3i$. Notons $M$, $M'$ et $M''$ les points
d'\textbf{affixes} respectives $z$, $-z$ et $iz$



\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics{limfonc.39}
\end{center}
\end{figure}


Ô monde merveilleux~! Une multiplication par $i$ se traduit par un
quart de tour, une multiplication par $-1$ se traduit par un
demi-tour, deux multiplications successives par $i$, c'est à dire
une multiplication par $i^2=-1$ se traduit bien par deux quarts de
tour, $i.e.$ un demi tour. Mais ceci est une autre histoire...





%%%%%%%
% STI




\section{Complexes et électronique}


\subsection{Somme de deux grandeurs sinusoïdales}

On considère la situation suivante :

\begin{center}
\begin{figure}
\includegraphics{LoiMaille.1}%\caption{Loi des n\oe uds}
\end{figure}
\end{center}

Le courant initial  $i$ et les trois courants  résultants $i_1$ et $i_2$
ont la même pulsation $\omega$. 

Si $i_k=\widehat{I_k}\sin(\omega t+\varphi)$,  alors, en notant $I_k$ la
valeur  efficace\footnote{Nous  apprendrons  à  la calculer  quand  nous
  aurons     étudié    le     calcul    intégral}     de     $i_k$    on
a \[\underline{I_k}=I_k\pa{\cos \varphi+{\rm j}\sin\varphi}\] 

avec $\widehat{I_k}=\sqrt{2}I_k$

\begin{figure}
              \begin{Idee}{}
              En électronique, on note «~$j$~» le nombre de carré $-1$ pour ne pas le confondre avec
              le «~i~» de l'intensité...
               \end{Idee}
               \end{figure}


La \textit{loi des n\oe uds} nous dit que, à chaque instant $t$,  $i(t)=i_1(t)+i_2(t)$.

Il est temps à présent de se souvenir d'une petite formule de trigo :

\[ \sin(a+b)=\sin a\cos b+\sin b\cos a\]

Vous pouvez alors montrer que, d'une part
\[i_1(t)+i_2(t)=\pa{\sqrt{2}\,I_1\cos\varphi_1+\sqrt{2}\,I_2\cos\varphi_2}\sin(\omega
t)+\pa{\sqrt{2}\,I_1\sin\varphi_1+\sqrt{2}\,I_2\sin\varphi_2}\cos(\omega
t)\] 

et d'autre part

\[i(t)=\pa{\sqrt{2}I\,\cos\varphi}\sin(\omega t)+\pa{\sqrt{2}\,I\sin\varphi}\cos(\omega t)\]

puisque  la relation  $i(t)=i_1(t)+i_2(t)$ est  vraie à  chaque instant,
elle est donc vraie en particulier au temps $t=0$, d'où 

\[ \sqrt{2}\,I\sin\varphi= \sqrt{2}\,I_1\sin\varphi_1+\sqrt{2}\,I_2\sin\varphi_2 \]

(pourquoi ?) et en $t=\frac{\pi}{2\omega}$ on obtient


\[ \sqrt{2}\,I\cos\varphi= \sqrt{2}\,I_1\cos\varphi_1+\sqrt{2}\,I_2\cos\varphi_2 \]



Vous          pouvez          alors          expliquer          pourquoi
$\underline{I_{\textcolor{0.8white}{0}}}=\underline{I_1}+\underline{I_2}$ 

dans le cas de signaux de  même pulsation. Cela va nous rendre de grands
services,  car  il  va  être  beaucoup  plus  simple  d'additionner  des
complexes plutôt que des grandeurs sinusoïdales. 


\medskip

\subsubsection{Exemple}

Considérons $i_1=2\sqrt{2}\sin\pa{\omega t+\frac{\pi}{4}}$ et $i_1=3\sqrt{2}\sin\pa{\omega t-\frac{\pi}{6}}$

Alors vous obtenez  d'une part
\[\underline{I_1}=2\pa{\cos\pa{\fr{\pi}{4}}+{\rm j}\sin\pa{\fr{\pi}{4}}}=\sqrt{2}\pa{1+{\rm j}}\]

et d'autre part

\[\underline{I_2}=3\pa{\cos\pa{-\fr{\pi}{6}}+{\rm j}\sin\pa{-\fr{\pi}{6}}}=\fr{3}{2}\pa{\sqrt{3}-{\rm j}}\]


Nous en déduisons que 

\[\underline{I_{\textcolor{white}{0}}}=\underline{I_1}+\underline{I_2}=\pa{\sqrt{2}+\fr{3\sqrt{3}}{2}}+{\rm
  j}\pa{\sqrt{2}-\fr{3}{2}}\] 

On ne reconnais pas de lignes trigonométriques connues. Nous allons donc utiliser des valeurs approchées.


\[\underline{I_{\textcolor{white}{0}}}\simeq 4,012289774-0,08578643763{\rm j}\]

Nous en déduisons que l'intensité  efficace vaut environ 4,01 Ampères et
une mesure de son argument -0,021 radians, et donc 

\[i(t)\simeq 4,01\sqrt{2}\sin(\omega t-0,021)\]





\subsection{Impédance complexe}

Vous verrez un jour  que l'impédance complexe $\underline{Z}$ est définie par 

\[\underline{Z}=\fr{\underline{U}}{\underline{I}}=R+{\rm j}X\]

avec R la resistance et X la réactance du dipôle..




\subsubsection{Cas d'une bobine parfaite}


On considère la situation suivante :

\begin{center}
\begin{figure}
\includegraphics{Bobine.1}%\caption{Bobine parfaite}
\end{figure}
\end{center}




Par  définition  de  l'intensité  $i(t)$, on  a  $u(t)=L\fr{\d  i(t)}{\d
  t}$. Or $i(t)=I\sqrt{2}\sin\pa{\omega t+\varphi}$, donc 

\begin{center}
\begin{align*} 
u(t)=&L\fr{{\rm d} \Big(I\sqrt{2}\sin\pa{\omega t+\varphi}\Big)}{{\rm d} t}\\
     =&LI\sqrt{2}\omega\cos\pa{\omega t+\varphi}\\
     =&L\omega I\sqrt{2}\sin\pa{\omega t+\varphi +\frac{\pi}{2}}\quad \text{car} \quad
     \sin\pa{x+\frac{\pi}{2}}=\cos(x) 
\end{align*}
\end{center}




Nous en déduisons que, d'une part

\begin{center}
\begin{arrayl}
\Arg\pa{\underline{Z}}&=&\Arg\pa{\underline{U}}-\Arg\pa{\underline{I}}\\
                                         &=& \varphi+\frac{\pi}{2}-\varphi\\
                                          &=&\fr{\pi}{2}
\end{arrayl}
\end{center}


d'autre part

\begin{center}
\begin{arrayl}
\ab{\underline{Z}}&=&\frac{\ab{\underline{U}}}{\ab{\underline{I}}}\\
                                         &=& \frac{IL\omega}{I}\\
                                          &=&L\omega
\end{arrayl}
\end{center}


Finalement, on obtient que \[\underline{Z}={\rm j}L\omega\]

car je vous rappelle que $\cos\pa{\frac{\pi}{2}}+{\rm j}\sin\pa{\frac{\pi}{2}}={\rm j}$


\sm

Montrez de  même que l'impédance  complexe d'un condensateur  parfait de
capacité  C   vaut  $\frac{1}{jc\omega}$  sachant   que  par  définition
$i(t)=C\fr{{\rm d} u(t)}{{\rm d} t}$ 


















































\vfill
.

\pagebreak

\pagestyle{empty}

\begin{center}
{\Huge\bfseries\sffamily \centering Formulaire de Trigonométrie }
\end{center}

\bigskip
\bigskip


\large
 \bel
 \item \textbf{Formules}

 $\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1$

$\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$\label{addi}

$\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$

$\sin (a+b)=\sin a\cos b+\sin b\cos a$

$\sin (a-b)=\sin a\cos b-\sin b\cos a$

$\tan (a+b)=\fr{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}$, pour $a+b\neq
\fr{\pi}{2}+k\pi$, $k\in \bbz$

$\tan (a-b)=\fr{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}$, pour $a-b\neq
\fr{\pi}{2}+k\pi$, $k'\in \bbz$

\sm

\item \textbf{Transformation de produits en somme}

$\cos a\cdot\cos b=\fr{1}{2}\cdot(\cos(a+b)+\cos(a-b))$

$\sin a\cdot\sin b=\fr{1}{2}\cdot(\cos(a-b)-\cos(a+b))$

$\sin a\cdot\cos b=\fr{1}{2}\cdot(\sin(a+b)+\sin(a-b))$

\sm

\item \textbf{Transformation de sommes en produits}

$\cos p+\cos q=2\cdot \cos (\fr{p+q}{2})\cdot \cos
(\fr{p-q}{2})$

$\cos p-\cos q=-2\cdot \sin (\fr{p+q}{2})\cdot \sin
(\fr{p-q}{2})$


$\sin p+\sin q=2\cdot \sin (\fr{p+q}{2})\cdot \cos
(\fr{p-q}{2})$

$\sin p-\sin q=2\cdot \sin (\fr{p-q}{2})\cdot \cos
(\fr{p+q}{2})$

\sm

\item \textbf{Formules de duplication}

$\cos (2x)=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x=2\cos^{2}x-1=1-2\sin ^{2}x$

$\sin (2x)=2\cos x\sin x $

$\tan (2x)=\fr{2\tan x}{1-\tan ^{2}x}$,
$x\neq\fr{\pi}{4}+k\fr{\pi}{2}$ pour $k\in \bbz$

Avec $t=\tan (\fr{x}{2})$, on a :

$\sin x=\fr{2t}{1+t^{2}}$ , $\cos x=\fr{1-t^{2}}{1+t^{2}}$ ,
$\tan x=\fr{2t}{1-t^{2}}$

\elet


\vfill

.

\newpage



\begin{center}
\includegraphics[height=10cm]{cercleTrigo.1}
\end{center}


\begin{minipage}[t]{0.45\textwidth}\vspace{0cm}\begin{flushleft}\includegraphics[height=5cm]{cercleTrigo.2}\end{flushleft}\end{minipage}\hspace{0.5cm}\begin{minipage}[t]{0.45\textwidth}\vspace{-0.5cm} 
\hspace{5.5cm}
\begin{flushright}\includegraphics[height=5cm]{cercleTrigo.3}\end{flushright}\end{minipage}


\bigskip\bigskip

\begin{minipage}[t]{0.45\textwidth}\vspace{0cm}\begin{flushleft}\includegraphics[height=5cm]{cercleTrigo.4}\end{flushleft}\end{minipage}\hspace{0.5cm}\begin{minipage}[t]{0.45\textwidth}\vspace{-0.5cm}
\hspace{5.5cm}
\begin{flushright}\includegraphics[height=5cm]{cercleTrigo.5}\end{flushright}\end{minipage}














































\end{document}

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%%% End: 
