\documentclass[xcolor={hyperref,dvips,ps2pdf},dvips]{beamer} 
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\usepackage{BeamerPolymaths}
\renewcommand\FancyVerbFormatLine[1]{\colorbox{green}{#1}}

\mode<presentation>
{
  \usetheme[secheader]{Madrid}
  % or ...Warsaw

  \setbeamercovered{highly dynamic}
  % or whatever (possibly just delete it)
}


\title[] % (optional, use only with long paper titles)
{Limites}

\subtitle{}

\author[] % (optional, use only with lots of authors)
{Guillaume CONNAN }
% - Give the names in the same order as the appear in the paper.
% - Use the inst{?} command only if the authors have different
%   affiliation.

\institute{Lycée Jean PERRIN}% (optional, but mostly needed)


\date[] % (optional, should be abbreviation of conference name)
{Septembre 2007}
% - Either use conference name or its abbreviation.
% - Not really informative to the audience, more for people (including
%   yourself) who are reading the slides online

\subject{}

\AtBeginSubsection[]
{
  \begin{frame}<beamer>
    \frametitle{Sommaire}
     {\footnotesize
    \tableofcontents[currentsection,currentsubsection]
       }
  \end{frame}
}


% If you wish to uncover everything in a step-wise fashion, uncomment
% the following command: 

\beamerdefaultoverlayspecification{<+->}


\begin{document}

\begin{frame}
  \titlepage
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{Sommaire}
{\footnotesize
  \tableofcontents
}
  % You might wish to add the option [pausesections]
\end{frame}

\section{Qu'est-ce qu'une fonction}

\begin{frame}
  \begin{definition}
    une fonction associe à TOUT élément d'un ensemble de départ un UNIQUE élément d'un ensemble d'arrivée
  \end{definition}


\pause


\begin{center}
\includegraphics[height=3cm]{limfonc.13}
\end{center}
\end{frame}








\section{Pourquoi est-il important de préciser sur quel ensemble on travaille~?}


\begin{frame}
  
\begin{definition}
  Soit $f$ une fonction définie sur un ensemble $\DR$ et $x_0$ un réel. Une assertion est vraie \textbf{au voisinage} de $x_0$ s'il existe un intervalle $I$ contenant $x_0$ tel que l'assertion soit vraie pour tout $x$ de $I\cap \DR$

\end{definition}

\pause


\begin{definition}
  Soit $f$ une fonction définie sur un ensemble $\DR$. Une assertion est vraie \textbf{au voisinage} de $+\infty$ s'il existe un réel $a$ tel que l'assertion soit vraie pour tous les $x$ de $[a,+\infty[$
\end{definition}



\end{frame}




\section{Approche physique des différentes définitions}

\subsection{Limite finie en un réel}



\begin{frame}
  \begin{definition}[ Limite finie en un réel]
  Soit $I$ un intervalle de $\bbr$, soit $f$ une fonction définie sur l'intervalle $I$ vers $\bbr$,
  soit $\ell$ un réel et soit $a$ un élément ou une extrémité finie de $I$. On dit que $f(x)$ tend
  vers $\ell$ quand $x$ tend vers $a$ lorsque, pour tout $\e>0$, il existe $\al>0$ tel que, pour
  tout réel $x$ appartenant à  $I\cap[a-\al,a+\al]$, on a $f(x)\in[\ell-\e,\ell+\e]$, c'est à dire
  si tout voisinage de $a$ contient TOUTES les valeurs de $f(x)$ prises pour tous les $x$ proches de $a$
\end{definition}


\begin{center}
  \includegraphics{limfonc.14}
\end{center}

\end{frame}





\subsection{Limite infinie en un réel}



\begin{frame}
\begin{definition}[Limite infinie en un réel]
Soit $a\in\bbr$, et soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.
  Dire qu'une fonction $f$ a pour limite $+\infty$ en $a$ signifie que tout voisinage de $+\infty$
  contient TOUTES les valeurs de $f(x)$ prises dans  tous les voisinages de $a$.
\end{definition}



\begin{center}
  \includegraphics{limfonc.15}
\end{center}


\end{frame}



\subsection{Limite finie en l'infini}


\begin{frame}
\begin{definition}[Limite finie en l'infini]
  On dit que $f(x)$ tend vers $\ell$ quand $x$ tend vers $+\infty$  lorsque, pour tout réel $\e>0$, tout intervalle $]\ell-\e,\ell+\e[$ contient    toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x$ assez grand
\end{definition}



\begin{center}
  \includegraphics{limfonc.16}
\end{center}

\end{frame}




\subsection{Limite infine en l'infini}
\begin{frame}
  
\begin{definition}[Limite infinie en l'infini]
  On dit que $f(x)$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend  $+\infty$ lorsque, pour tout réel $A$ strictement positif, l'intervalle $]A,+\infty[$ contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x$ assez grand
\end{definition}



\begin{center}
  \includegraphics{limfonc.17}
\end{center}

\end{frame}



\section{Les théorèmes}


\subsection{Théorèmes de comparaison}


\begin{frame}
  
\begin{theorem}
  Si pour tout $x\se m$ on a $g(x)\se f(x)$ et si $\Lim{+\infty}f(x)=+\infty$, alors $\Lim{+\infty}g(x)=+\infty$
\end{theorem}





\begin{center}
  \includegraphics{limfonc.8}
\end{center}




\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{proof}
    
On veut prouver que $\Lim{+\infty}g(x)=+\infty$, donc on considère un réel positif $A$ quelconque. 

\pause

Puisque $\Lim{+\infty}f(x)=+\infty$, il existe un réel $M$ tel que, pour tout $x\se M$, on a $f(x)\se A$

\pause

De plus, pour tout $x\se m$, on a $g(x)\se f(x)$

\pause

Donc, si on appelle $\mu$ le plus grand des réels $m$ et $M$, pour tout $x\se \mu$, on a $g(x)\se A$, ce qui exprime que $\Lim{+\infty}g(x)=+\infty$.

  \end{proof}
\end{frame}


 
\subsection{Théorèmes des gendarmes}



\begin{frame}
  \begin{theorem}[Théorème des gendarmes en l'infini]
  Soient $f$, $g$ et $h$ des fonctions et $\ell$ et $A$ deux  réels.

Si $\Lim{+\infty}g(x)=\Lim{+\infty}h(x)=\ell$ et que $g(x)\ie f(x)\ie h(x)$ pour tout $x\se A$, alors $\Lim{+\infty}f(x)=\ell$
\end{theorem}




\begin{center}
  \includegraphics{limfonc.9}
\end{center}




\end{frame}







\begin{frame}
\begin{proof}
On fixe un réel $\e>0$ quelconque. 

\pause

Comme $\Lim{+\infty}g(x)=\ell$, il existe un réel $A_g$ tel que, pour tout $x>A_g$ on a $g(x)\in]\ell-\e,\ell+\e[$, i.e. $\ell-\e<g(x)<\ell+\e$ 



\pause



Comme $\Lim{+\infty}h(x)=\ell$, il existe un réel $A_h$ tel que, pour tout $x>A_h$ on a $h(x)\in]\ell-\e,\ell+\e[$, i.e. $\ell-\e<h(x)<\ell+\e$


\pause

Soit $M$ le plus grand des réels $A_g$, $A_h$ et $A$, alors on on a simultanément pour tout $x>M$  $$\ell-\e<g(x)\ie f(x)\ie h(x)<\ell+\e$$ ce qui traduit que $\Lim{+\infty}f(x)=+\infty$.

\end{proof}



\begin{center}
  \includegraphics[height=0.3\textheight]{limfonc.9}
\end{center}







  
\end{frame}





\begin{frame}
  \begin{theorem}[Théorème des gendarmes]
  Soient $f$, $g$ et $h$ des fonctions, $\ell$ et $A$ deux  réels et $\omega$ un réel ou l'infini.

Si $\Lim{\omega}g(x)=\Lim{\omega}h(x)=\ell$ et que $g(x)\ie f(x)\ie h(x)$ pour tout $x\se A$, alors $\Lim{\omega}f(x)=\ell$
\end{theorem}

\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{example}

Étudions la limite de $f~:~x\mapsto \fr{\sin x}{x}$ en $+\infty$.

\end{example}
\end{frame}
 \subsection{Opérations sur les limites}


\begin{frame}
 
Elles suivent le modèle réel avec un peu de logique derrière sauf dans quatre cas~:

\begin{itemize}
\item $\infty-\infty$
\item $0\times\infty$
\item $\frac{0}{0}$
\item $\frac{\infty}{\infty}$
\end{itemize}


\end{frame}



\subsection{Limites de fonctions composées}


\definecolor{vert}{rgb}{0,0.392193,0}

\begin{frame}
  \begin{propriete}
  Soient $\omega$, $\Omega$ et $\ell$ des réels ou l'infini et $f$ et $g$ deux fonctions, alors
$$ \left.\begin{array}{l} \Lim{\textcolor{red}{\omega}}f(x)=\textcolor{magenta}{\Omega}\\ \ds\lim_{T\to\textcolor{magenta}{\Omega}}g(T)=\textcolor{vert}{\ell}\end{array}\right\rbrace\Longrightarrow\Lim{\textcolor{red}{\omega}}g\circ f(x)=\textcolor{vert}{\ell}$$
\end{propriete}

\end{frame}




\begin{frame}
  \begin{example}
\'Etudiez la limite en $-\infty$ de $\f~:~ x\mapsto \sqrt{-3x+1}$
\end{example}

\pause


$$ \left.\begin{array}{l} \Lim{\textcolor{red}{-\infty}}-3x+1=\textcolor{magenta}{+\infty}\\ \ds\lim_{T\to\textcolor{magenta}{+\infty}}\sqrt{T}=\textcolor{vert}{+\infty}\end{array}\right\rbrace\stackrel{\text{par composition}}{\Longrightarrow}\Lim{\textcolor{red}{-\infty}}\f(x)=\textcolor{vert}{+\infty}$$

\end{frame}




\section{Comportement asymptotique}

\subsection{Définition générale}

\begin{frame}
\begin{definition}
  La courbe d'équation $y=f(x)$ admet la droite d'équation $y=ax+b$ comme asymptote au voisinage de $+\infty$ si et seulement si $$\Lim{+\infty}\cro{f(x)-(ax+b)}=0$$
\end{definition}



\begin{center}
  \includegraphics{limfonc.11}
\end{center}

\end{frame}



\subsection{Asymptote horizontale}

\begin{frame}

\begin{definition}
  Si une fonction $f$ vérifie \[\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell\] alors la
  droite d'équation $y=\ell$ est une asymptote horizontale en
  $+\infty$ à la courbe représentative de $f$.
\end{definition}

\begin{center}
  \includegraphics[height=3cm]{analyse20078.1}
  \[\lim_{x\to +\infty}f(x)=2 \,.\]
\end{center}

\end{frame}


\begin{frame}
\begin{example}
  Soit $f$ la fonction définie par 
  \[f(x) = \frac{x^{2} - x +1}{x^{3} + 1}\,.\] Montrer que
  $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x) = 0$.  Interpréter graphiquement ce
  résultat.
\end{example}

\end{frame}

\subsection{Asymptote verticale}


\begin{frame}

\begin{definition}
  Soit $a$ un réel. Si une fonction $f$ vérifie
  \[\lim_{x\to a}f(x)= + \infty \] alors la droite d'équation $x=a$
  est une asymptote verticale à la courbe représentative de~$f$.
\end{definition}

\begin{center}
  \includegraphics[height=3cm]{analyse20078.2}
  \[\lim_{x\to 2 \atop x>2}f(x)= + \infty \text{ et } \lim_{x\to 2 \atop x<2}f(x)= - \infty \,.\]
\end{center}

\end{frame}


\begin{frame}


\begin{example}
  Soit $f$ la fonction définie par \[f(x) = \frac{x^{2} - x +1}{x -
    1}\,.\] \'Etudier les limites de $f$ au voisinage de 1 puis
  interpréter graphiquement ce résultat.
\end{example}


\end{frame}

\subsection{Asymptote oblique}

\begin{frame}


\begin{definition}
  Soit $\Delta$ la droite d'équation $y=mx+p$. Si une fonction $f$
  vérifie
  \[\lim_{x\to +\infty}\left(f(x)-(mx+p)\right)= 0 \] alors la droite d'équation $\Delta$
  est une asymptote oblique au voisinage de $+\infty$ à la courbe
  représentative de~$f$.
\end{definition}




\begin{center}
  \includegraphics[height=3cm]{analyse20078.3}

  \[\lim_{x\to -\infty}\left(f(x)-(ax+b)\right)=0 \text{ et } \lim_{x\to +\infty}\left(f(x)-(ax+b)\right)= 0\,.\]
\end{center}

\end{frame}


\begin{frame}

\begin{example}
  Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par 
  \[f(x) = \frac{1}{x^{2}} + 2x -1\,.\] Prouver que la droite
  $\Delta$ d'équation $y=2x-1$ est une asymptote oblique à la courbe
  représentative de $f$ au voisinage de $+\infty$.
\end{example}


\end{frame}



\subsection{Dominants et dominés}

\begin{frame}

\begin{example}

$x\neq 0$, $3x^2-132x+27=x^2\pa{3-\fr{132}{x}+\fr{27}{x^2}}$

\pause
{\tiny
$$\left.\begin{array}{r}\left.\begin{array}{l}\Lim{+\infty}\fr{132}{x}=0\\\Lim{+\infty}\fr{27}{x^2}=0\end{array}\right\rbrace\stackrel{\text{par somme}}{\Longrightarrow}\Lim{+\infty}\pa{3-\fr{132}{x}+\fr{27}{x^2}}=3\\\Lim{+\infty}x^2=+\infty\end{array}\right\rbrace\stackrel{\text{par produit}}{\Longrightarrow}\Lim{+\infty}3x^2-132x+27=+\infty$$
}
\end{example}

\end{frame}

\section{Croyable mais faux !}


\begin{frame}
  Est-il vrai qu'une fonction strictement croissante tend
forcément vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$~?

\pause
On pourrait le penser en effet : une fonction qui ne fait que
croître va forcément monter vers $+\infty$. Et pourtant c'est
FAUX~!




\end{frame}







\begin{frame}
  Est-il vrai qu'une fonction qui tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$ est
forcément croissante pour $x$ assez grand~?


\pause


On pourrait le penser en effet : puisqu'il faut aller vers
l'infini et au-delà, il va bien falloir monter sans s'arrêter. Et
pourtant c'est FAUX~!


\end{frame}





\begin{frame}
   Est-il vrai qu'une fonction bornée tend forcément vers un
réel en $+\infty$~?

\pause

On pourrait le penser en effet : puisque la fonction est bornée,
elle ne pourra aller vers l'infini, donc il faut qu'elle se
stabilise quelque part. Et pourtant c'est FAUX~!



\end{frame}



\begin{frame}
   Est-il vrai qu'une fonction tendant vers $M$ en $+\infty$ est majorée par $M$


\pause
 J'avoue que c'est difficile à croire, et pourtant la plupart des élèves  tombent dans le panneau...
\end{frame}



\end{document}
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%%% End: 
