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\newtheorem{summary}[Csum]{En résumé}
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\newenvironment{proof}[1]
[Démonstration]
{\noindent\textbf{#1:} }
{\ \fbox{cqfd.}
}
\renewcommand{\theenumi}{\arabic{enumi}}
\renewcommand{\theenumii}{\alph{enumii}}
\renewcommand{\theenumiii}{\roman{enumiii}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi)}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii)}}
\renewcommand{\labelenumiii}{\textbf{\theenumiii.}}


%%%%%%%%%%%%% Mes commandes %%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\cro}{
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\end{picture}
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\newcommand{\Lim}[1]{\underset{#1}{\lim }}
\newcommand{\coche}{\rule[-0.3em]{1.1em}{1.1em}}
\DeclareMathOperator{\e}{e}

%%%%%%%%%%% Fin de mes commandes %%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}

%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 13164641150694--
%%--Corrigé du document N° 119902713265529--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%


\begin{claim}
\quad
%TCIMACRO{\FRAME{dtbpFX}{329.6875pt}{233.4375pt}{0pt}{}{}{Figure}%
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%BeginExpansion
\begin{center}
\fbox{\includegraphics[
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]%
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}
\end{center}
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%

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%BeginExpansion
\begin{center}
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]%
{include/i3fgvzeb.eps}%
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\end{center}
%EndExpansion
%

%TCIMACRO{\FRAME{dtbpFX}{322.875pt}{188.875pt}{0pt}{}{}{Figure}%
%{\special{ language "Scientific Word";  type "GRAPHIC";
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%BeginExpansion
\begin{center}
\fbox{\includegraphics[
height=188.875pt,
width=322.875pt
]%
{include/i3fgw0ed.eps}%
}
\end{center}
%EndExpansion

\end{claim}

\begin{claim}
\textbf{Association d'une courbe avec sa courbe dérivée}\\
On utilise le fait que $f'(x)\geq0$ sur $I\Rightarrow f$ est
croissante sur $I$.\\
\begin{center}
\begin{boxedminipage}{6cm}
  \begin{center}
    La courbe dérivée de $\mathscr{C}_1$ est $\mathscr{C'}_3$\\
    La courbe dérivée de $\mathscr{C}_2$ est $\mathscr{C'}_1$\\
    La courbe dérivée de $\mathscr{C}_3$ est $\mathscr{C'}_2$\\
    La courbe dérivée de $\mathscr{C}_4$ est $\mathscr{C'}_4$\\
\end{center}
\end{boxedminipage}
\end{center}
\end{claim}

\begin{claim}
\textbf{Correction sur la fonction }$f(x)=x^3+ax^2+x+1$
\begin{enumerate}
\item 
$f$ est un polynôme donc $f$ est définie et dérivable sur
$\mathbb{R}$ et $f'(x)=3x^2+2ax+1$.\\
Déterminons le nombre de solutions de $f'(x)=0$ :\\
$f'(x)=3x^2+2ax+1$ a pour discriminant
$\Delta=(2a)^2-4\times3=4a^2-12$.
\begin{itemize}
\item $f'(x)=0$ admet 2 solutions SSI $\Delta>0$ ;
\item $f'(x)=0$ admet 1 solution (double) SSI $\Delta=0$ ;
\item $f'(x)=0$ admet 0 solution SSI $\Delta<0$ .
\end{itemize}
Or $\Delta<0\Leftrightarrow 4a^2-12<0\Leftrightarrow
a^2<3\Leftrightarrow -\sqrt{3}<a<\sqrt{3}$ donc :
\begin{itemize}
\item \fbox{$f'(x)=0$ admet 2 solutions SSI
    $a\in\left]-\infty\,;\,-\sqrt{3}\right[\cup\left]\sqrt{3}\,;\,+\infty\right[$} ;
\item \fbox{$f'(x)=0$ admet 1 solution (double) SSI $a=-\sqrt{3}\quad\text{ou}\quad a=\sqrt{3}$} ;
\item \fbox{$f'(x)=0$ admet 0 solution SSI $a\in\left]-\sqrt{3}\,;\,\sqrt{3}\right[$} .
\end{itemize}

\item $f$ admet, au moins un extremum local SSI $f'$ s'annule au moins
  une fois \textbf{en changeant de signe}. Comme $f'$ est un polynôme
  du second degré, $f'$ s'annule en changeant de signe SSI $f'$ admet
  exactement deux solutions i.e. SSI \fbox{$a\in\left]-\infty\,;\,-\sqrt{3}\right[\cup\left]\sqrt{3}\,;\,+\infty\right[$}.
\end{enumerate}
La figure \ref{extrem} de la page \pageref{extrem} montre les courbes de $f$ pour trois valeurs de $a$ appartenant respectivement à $\left]-\infty\,;\,-\sqrt{3}\right[\cup\left]\sqrt{3}\,;\,+\infty\right[\quad;\quad\left\{-\sqrt{3};\sqrt{3}\right\}\quad;\quad\left]-\sqrt{3}\,;\,\sqrt{3}\right[$.
\begin{figure}[p]
  \centering
  \includegraphics{include/extrem.eps}
  \caption{\quad}
  \label{extrem}
\end{figure}

\end{claim}

\begin{claim}
\textbf{Correction sur les variation de }$f(x)=\sin x \cos x$.\\
$f$ est définie et dérivable sur $]-\pi;\pi\lbrack$ et
$f(x)=[u(x)]^2$ avec $u(x)=\cos x$, $u'(x)=-\sin x$.\\
Donc $f'(x)=2\times u'(x)\times u(x)=-2 \sin x \cos x$. Le tableau de
signe suivant :
\begin{center}
  
\begin{tabular}[c]{c|c|ccc|ccc|ccc|ccc|ccc}
$x$ &   \multicolumn{2}{c}{\makebox[0cm][c]{$-\pi$}}    &   & \multicolumn{2}{c}{\makebox[0cm][c]{$-\frac{\pi}{2}$}}&   & \multicolumn{2}{c}{\makebox[0cm][c]{$0$}} &   & \multicolumn{2}{c}{\makebox[0cm][c]{$\frac{\pi}{2}$}} &   & \multicolumn{2}{c}{\makebox[0cm][c]{$\pi$}}\\\hline
    &                               & & &                       & & &                                   & & & & & & & \\
$\sin x$ & \multicolumn{2}{c}{$0$}    &$-$&                  &                  &$-$&  \multicolumn{2}{c}{$0$} &$+$&       &                            &$+$& \multicolumn{2}{c}{$0$}\\
    &                               & & &                       & & &                                   & & & & & & & \\\hline
    &                               & & &                       & & &                                   & & & & & & & \\
$\cos x$ &        &                  &$-$&  \multicolumn{2}{c}{$0$}             &$+$&          &               &$+$&  \multicolumn{2}{c}{$0$}           &$-$& &\\
    &                               & & &                       & & &                                   & & & & & & & \\\hline
    &                               & & &                       & & &                                   & & & & & & & \\
$\sin x\cos x$ &   \multicolumn{2}{c}{$0$}   &$+$&  \multicolumn{2}{c}{$0$}             &$-$&     \multicolumn{2}{c}{$0$}   &$+$&  \multicolumn{2}{c}{$0$}           &$-$&\multicolumn{2}{c}{$0$}\\
    &                               & & &                       & & &                                   & & & & & & & \\
\end{tabular}
\end{center}
permet d'obtenir le tableau des variations de $f$ :
$$
\begin{tabular}[c]{c|c|ccc|ccc|ccc|ccc|ccc}
$x$ &   \multicolumn{2}{c}{\makebox[0cm][c]{$-\pi$}}    &   & \multicolumn{2}{c}{\makebox[0cm][c]{$-\frac{\pi}{2}$}}&   & \multicolumn{2}{c}{$0$} &   & \multicolumn{2}{c}{\makebox[0cm][c]{$\frac{\pi}{2}$}} &   & \multicolumn{2}{c}{\makebox[0cm][c]{$\pi$}}\\\hline
    &                               & & &                       & & &                                   & & & & & & & \\
$f'(x)$ &   \multicolumn{2}{c}{$0$}   &$-$&  \multicolumn{2}{c}{$0$}             &$+$&     \multicolumn{2}{c}{$0$}   &$-$&  \multicolumn{2}{c}{$0$}           &$+$&\multicolumn{2}{c}{$0$}\\
    &                               & & &                       & & &                                   & & & & & & & \\\hline
    &   \multicolumn{2}{c}{$1$}       & &                       & & &                      \multicolumn{2}{c}{$1$} &      & & & & \multicolumn{2}{c}{$1$} \\
$f$ &   \multicolumn{2}{c}{}          &\dec&                    &                 &$\cro$& \multicolumn{2}{c}{}    &$\dec$&  &           &$\cro$&\multicolumn{2}{c}{}\\
    &   \multicolumn{2}{c}{}          & &  \multicolumn{2}{c}{$0$}                &       & \multicolumn{2}{c}{}   &       &\multicolumn{2}{c}{$0$} & & \multicolumn{2}{c}{} \\
\end{tabular}
$$
\end{claim}


\begin{claim}
\textbf{Inégalité de Bernouilli}\\
Pour tout $n\in\mathbb{N}^\star$ on pose $f(x)=x^{n}-1-n(x-1)$.\\
$f$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}^{+}$ et $f'(x)=nx^{n-1}-n$.\\
Or $nx^{n-1}-n\geq0\Leftrightarrow x^{n-1}\geq1\Leftrightarrow x\geq1$ car $x\geq0$ (et $n-1$ est un entier).\\
$f$ est donc décroissante sur $\left[0\,;\,1\right]$ et croissante sur $\left[1\,;\,+\infty\right[$ et admet un minimum en $1$ de $f(1)=0$.\\
On en déduit que $\forall x\in\mathbb{R}^{+},\;f(x)\geq0$ i.e. $x^{n}-1\geq n(x-1)$.
\end{claim}


\textbf{Solution de l'exercice sur la bille dans le r\'{e}cipient:}

\begin{enumerate}
\item \textbf{Mise en \'{e}quation}

Notons $x$ le rayon de la bille (en $%
%TCIMACRO{\unit{cm}}%
%BeginExpansion
\operatorname{cm}%
%EndExpansion
$); les contraintes physiques imposent que $0\leq x\leq10.$

La bille affleure la surface ssi la hauteur d'eau est $2x$ donc ssi: le volume
eau+bille est \'{e}gal \`{a}\linebreak$20\times20\times2x\quad$ie$\quad800x.$

Or le volume eau+bille est aussi \'{e}gal \`{a} $20\times20\times10+\tfrac
{4}{3}\pi x^{3}\quad$ie$\quad\tfrac{4}{3}\pi x^{3}+4000.$

Donc la bille affleure la surface de l'eau ssi: $\tfrac{4}{3}\pi
x^{3}+4000=800x\quad$ie$\quad\tfrac{\pi}{3}x^{3}+1000-200x=0.$

\item \textbf{Traitement math\'{e}matique}

Comme on ne sait pas directement r\'{e}soudre cette \'{e}quation du
3$^{i\grave{e}me}$ degr\'{e}, posons, naturellement:%
\[
f(x)=\tfrac{\pi}{3}x^{3}-200x+1000.
\]
Nous sommes alors amen\'{e}s \`{a} r\'{e}soudre l'\'{e}quation $f(x)=0$ sur
$[0;10]$.

\begin{enumerate}
\item Nombre de solutions et localisation

$f$ est d\'{e}rivable sur $]0;10[$ et $f^{\prime}(x)=\pi x^{2}-200.$

D'o\`{u} le tableau de variation de $f$ sur $[0;10]$:%

\begin{tabular}
[c]{c|ccc|ccc}%
$x$ & $0$ &  & \multicolumn{2}{c}{$\hspace{-0.6cm}\sqrt{\tfrac{200}{\pi}}$} &
& $10$\\\hline
&  &  &  &  &  & \\
$f^{\prime}(x)$ &  & $-$ & \multicolumn{2}{c}{$\hspace{-0.6cm}0$} & $+$ & \\
&  &  &  &  &  & \\\hline
&  &  &  &  &  & \\
& $1000$ &  &  &  &  & $\simeq47$\\
$f$ &  &
%TCIMACRO{\TeXButton{Decroissent}{\parbox{1.4cm}{
%\setlength{\unitlength}{0.1cm}
%\begin{picture}(14,7)
%\put(0,7){\vector(2,-1){14}}
%\end{picture}
%}}}%
%BeginExpansion
\parbox{1.4cm}{
\setlength{\unitlength}{0.1cm}
\begin{picture}(14,7)
\put(0,7){\vector(2,-1){14}}
\end{picture}
}%
%EndExpansion
&  &  &
%TCIMACRO{\TeXButton{Croissant}{\parbox{1.4cm}{
%\setlength{\unitlength}{0.1cm}
%\begin{picture}(14,7)
%\put(0,0){\vector(2,1){14}}
%\end{picture}
%}}}%
%BeginExpansion
\parbox{1.4cm}{
\setlength{\unitlength}{0.1cm}
\begin{picture}(14,7)
\put(0,0){\vector(2,1){14}}
\end{picture}
}%
%EndExpansion
& \\
&  &  & \multicolumn{2}{c}{$\simeq-64$} &  &
\end{tabular}


On a donc:

\begin{itemize}
\item Sur $\left]  0;\sqrt{\dfrac{200}{\pi}}\right[  ,$ $f$ est d\'{e}rivable,
strictemement d\'{e}croissante, et change de signe, donc l'\'{e}quation
$f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans$\left]  0;\sqrt{\dfrac
{200}{\pi}}\right[  ;$

\item Sur $\left]  \sqrt{\dfrac{200}{\pi}};10\right[  ,$ $f$ est
d\'{e}rivable, strictemement croissante, et change de signe, donc
l'\'{e}quation $f(x)=0$ admet une unique solution $\beta$ dans$\left]
\sqrt{\dfrac{200}{\pi}};10\right[  .$
\end{itemize}

Ainsi le probl\`{e}me a \textbf{deux solutions}.

\item Encadrement d'amplitude $10^{-3}$\ des solutions

En effectuant, \`{a} l'aide d'une calculatrice ou d'un tableur, des balayages
aux pas respectifs de $1;$ $0.1;$ $0.01;$ $10^{-3}$ on obtient les tableaux suivants:
\end{enumerate}
\end{enumerate}

%

\begin{tabular}
[c]{ccrlccl}
&  &  &
\begin{tabular}
[c]{l}%
\\
\\
\\
\\
\\
\\
\\
$\swarrow$\\
\\
\\
\end{tabular}
&
\begin{tabular}
[c]{|c|c|}\hline
$\mathbf{x}$ & $\mathbf{f(x)}$\\\hline
\multicolumn{1}{|l|}{$1$} & \multicolumn{1}{|l|}{$\allowbreak801.\,\allowbreak
05$}\\
\multicolumn{1}{|l|}{$2$} & \multicolumn{1}{|l|}{$\allowbreak608.\,\allowbreak
38$}\\
\multicolumn{1}{|l|}{$3$} & \multicolumn{1}{|l|}{$\allowbreak428.\,\allowbreak
27$}\\
\multicolumn{1}{|l|}{$4$} & \multicolumn{1}{|l|}{$\allowbreak267.\,\allowbreak
02$}\\
\multicolumn{1}{|l|}{$5$} & \multicolumn{1}{|l|}{$\allowbreak130.\,\allowbreak
90$}\\\hline\hline
\multicolumn{1}{||l|}{$6$} & \multicolumn{1}{|l||}{$\allowbreak
26.\,\allowbreak195$}\\
\multicolumn{1}{||l|}{$7$} & \multicolumn{1}{|l||}{$\allowbreak
-40.\,\allowbreak811$}\\\hline\hline
\multicolumn{1}{|l|}{$8$} & \multicolumn{1}{|l|}{$\allowbreak-63.\,\allowbreak
835$}\\\hline\hline
\multicolumn{1}{||l|}{$9$} & \multicolumn{1}{|l||}{$\allowbreak
-36.\,\allowbreak593$}\\
\multicolumn{1}{||l|}{$10$} & \multicolumn{1}{|l||}{$\allowbreak
47.\,\allowbreak198$}\\\hline
\end{tabular}
&  & \\
&  & \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{} &  & $\searrow$ &
\multicolumn{1}{c}{}\\
&  & \multicolumn{1}{c}{%
\begin{tabular}
[c]{|c|c|}\hline
$\mathbf{x}$ & $\mathbf{f(x)}$\\\hline
\multicolumn{1}{|l|}{$6.1$} & \multicolumn{1}{|l|}{$\allowbreak
17.\,\allowbreak694$}\\
\multicolumn{1}{|l|}{$6.2$} & \multicolumn{1}{|l|}{$\allowbreak9.\,\allowbreak
576\,5$}\\\hline\hline
\multicolumn{1}{||l|}{$6.3$} & \multicolumn{1}{|l||}{$\allowbreak
1.\,\allowbreak848\,6$}\\
\multicolumn{1}{||l|}{$6.4$} & \multicolumn{1}{|l||}{$\allowbreak
-5.\,\allowbreak483\,4$}\\\hline\hline
\multicolumn{1}{|l|}{$6.5$} & \multicolumn{1}{|l|}{$\allowbreak
-12.\,\allowbreak413$}\\
\multicolumn{1}{|l|}{$6.6$} & \multicolumn{1}{|l|}{$\allowbreak
-18.\,\allowbreak935$}\\
\multicolumn{1}{|l|}{$6.7$} & \multicolumn{1}{|l|}{$\allowbreak
-25.\,\allowbreak042$}\\
\multicolumn{1}{|l|}{$6.8$} & \multicolumn{1}{|l|}{$\allowbreak
-30.\,\allowbreak728$}\\
\multicolumn{1}{|l|}{$6.9$} & \multicolumn{1}{|l|}{$\allowbreak
-35.\,\allowbreak986$}\\
\multicolumn{1}{|l|}{$7$} & \multicolumn{1}{|l|}{$\allowbreak-40.\,\allowbreak
811$}\\\hline
\end{tabular}
} & \multicolumn{1}{c}{} &  &  & \multicolumn{1}{c}{%
\begin{tabular}
[c]{|c|c|}\hline
$\mathbf{x}$ & $\mathbf{f(x)}$\\\hline
\multicolumn{1}{|l|}{$9$} & \multicolumn{1}{|l|}{$\allowbreak-36.\,\allowbreak
593$}\\
\multicolumn{1}{|l|}{$9.1$} & \multicolumn{1}{|l|}{$\allowbreak
-30.\,\allowbreak862$}\\
\multicolumn{1}{|l|}{$9.2$} & \multicolumn{1}{|l|}{$\allowbreak
-24.\,\allowbreak560$}\\
\multicolumn{1}{|l|}{$9.3$} & \multicolumn{1}{|l|}{$\allowbreak
-17.\,\allowbreak679$}\\
\multicolumn{1}{|l|}{$9.4$} & \multicolumn{1}{|l|}{$\allowbreak
-10.\,\allowbreak214$}\\\hline\hline
\multicolumn{1}{||l|}{$9.5$} & \multicolumn{1}{|l||}{$\allowbreak
-2.\,\allowbreak159\,0$}\\
\multicolumn{1}{||l|}{$9.6$} & \multicolumn{1}{|l||}{$\allowbreak
6.\,\allowbreak493\,4$}\\\hline\hline
\multicolumn{1}{|l|}{$9.7$} & \multicolumn{1}{|l|}{$\allowbreak
15.\,\allowbreak749$}\\
\multicolumn{1}{|l|}{$9.8$} & \multicolumn{1}{|l|}{$\allowbreak
25.\,\allowbreak614$}\\
\multicolumn{1}{|l|}{$9.9$} & \multicolumn{1}{|l|}{$\allowbreak
36.\,\allowbreak095$}\\\hline
\end{tabular}
}\\
&  & \multicolumn{1}{c}{$\downarrow$} & \multicolumn{1}{c}{} &  &  &
\multicolumn{1}{c}{$\downarrow$}\\
&  & \multicolumn{1}{c}{%
\begin{tabular}
[c]{|c|c|}\hline
$\mathbf{x}$ & $\mathbf{f(x)}$\\\hline
\multicolumn{1}{|l|}{$6.3$} & \multicolumn{1}{|l|}{$\allowbreak1.\,\allowbreak
848\,6$}\\
\multicolumn{1}{|l|}{$6.31$} & \multicolumn{1}{|l|}{$\allowbreak
1.\,\allowbreak097\,5$}\\\hline\hline
\multicolumn{1}{||l|}{$6.32$} & \multicolumn{1}{|l||}{$\allowbreak0.350\,33$%
}\\
\multicolumn{1}{||l|}{$6.33$} & \multicolumn{1}{|l||}{$\allowbreak-0.392\,86
$}\\\hline\hline
\multicolumn{1}{|l|}{$6.34$} & \multicolumn{1}{|l|}{$\allowbreak
-1.\,\allowbreak132\,1$}\\
\multicolumn{1}{|l|}{$6.35$} & \multicolumn{1}{|l|}{$\allowbreak
-1.\,\allowbreak867\,3$}\\
\multicolumn{1}{|l|}{$6.36$} & \multicolumn{1}{|l|}{$\allowbreak
-2.\,\allowbreak598\,5$}\\
\multicolumn{1}{|l|}{$6.37$} & \multicolumn{1}{|l|}{$\allowbreak
-3.\,\allowbreak325\,8$}\\
\multicolumn{1}{|l|}{$6.38$} & \multicolumn{1}{|l|}{$\allowbreak
-4.\,\allowbreak049$}\\
\multicolumn{1}{|l|}{$6.39$} & \multicolumn{1}{|l|}{$\allowbreak
-4.\,\allowbreak768\,2$}\\\hline
\end{tabular}
} & \multicolumn{1}{c}{} &  &  & \multicolumn{1}{c}{%
\begin{tabular}
[c]{|c|c|}\hline
$\mathbf{x}$ & $\mathbf{f(x)}$\\\hline
\multicolumn{1}{|l|}{$9.5$} & \multicolumn{1}{|l|}{$\allowbreak
-2.\,\allowbreak159\,0$}\\
\multicolumn{1}{|l|}{$9.51$} & \multicolumn{1}{|l|}{$\allowbreak
-1.\,\allowbreak320\,7$}\\\hline\hline
\multicolumn{1}{||l|}{$9.52$} & \multicolumn{1}{|l||}{$\allowbreak-0.476\,48
$}\\
\multicolumn{1}{||l|}{$9.53$} & \multicolumn{1}{|l||}{$\allowbreak0.373\,75$%
}\\\hline\hline
\multicolumn{1}{|l|}{$9.54$} & \multicolumn{1}{|l|}{$\allowbreak
1.\,\allowbreak230\,0$}\\
\multicolumn{1}{|l|}{$9.55$} & \multicolumn{1}{|l|}{$\allowbreak
2.\,\allowbreak092\,2$}\\
\multicolumn{1}{|l|}{$9.56$} & \multicolumn{1}{|l|}{$\allowbreak
2.\,\allowbreak960\,4$}\\
\multicolumn{1}{|l|}{$9.57$} & \multicolumn{1}{|l|}{$\allowbreak
3.\,\allowbreak834\,6$}\\
\multicolumn{1}{|l|}{$9.58$} & \multicolumn{1}{|l|}{$\allowbreak
4.\,\allowbreak714\,8$}\\
\multicolumn{1}{|l|}{$9.6$} & \multicolumn{1}{|l|}{$\allowbreak6.\,\allowbreak
493\,4$}\\\hline
\end{tabular}
}\\
&  & \multicolumn{1}{c}{$\downarrow$} & \multicolumn{1}{c}{} &  &  &
\multicolumn{1}{c}{$\downarrow$}\\
&  & \multicolumn{1}{c}{%
\begin{tabular}
[c]{|c|c|}\hline
$\mathbf{x}$ & $\mathbf{f(x)}$\\\hline
\multicolumn{1}{|l|}{$6.32$} & \multicolumn{1}{|l|}{$\allowbreak0.350\,33$}\\
\multicolumn{1}{|l|}{$6.321$} & \multicolumn{1}{|l|}{$\allowbreak0.275\,83$}\\
\multicolumn{1}{|l|}{$6.322$} & \multicolumn{1}{|l|}{$\allowbreak0.201\,37$}\\
\multicolumn{1}{|l|}{$6.323$} & \multicolumn{1}{|l|}{$\allowbreak0.126\,95$%
}\\\hline\hline
\multicolumn{1}{||l|}{$6.324$} & \multicolumn{1}{|l||}{$\allowbreak
5.\,\allowbreak257\,6\times10^{-2}$}\\
\multicolumn{1}{||l|}{$6.325$} & \multicolumn{1}{|l||}{$\allowbreak
-2.\,\allowbreak176\,2\times10^{-2}$}\\\hline\hline
\multicolumn{1}{|l|}{$6.326$} & \multicolumn{1}{|l|}{$\allowbreak
-9.\,\allowbreak606\,1\times10^{-2}$}\\
\multicolumn{1}{|l|}{$6.327$} & \multicolumn{1}{|l|}{$\allowbreak-0.170\,32$%
}\\
\multicolumn{1}{|l|}{$6.328$} & \multicolumn{1}{|l|}{$\allowbreak-0.244\,54$%
}\\
\multicolumn{1}{|l|}{$6.329$} & \multicolumn{1}{|l|}{$\allowbreak-0.318\,72$%
}\\\hline
\end{tabular}
} & \multicolumn{1}{c}{} &  &  & \multicolumn{1}{c}{%
\begin{tabular}
[c]{|c|c|}\hline
$\mathbf{x}$ & $\mathbf{f(x)}$\\\hline
\multicolumn{1}{|l|}{$9.52$} & \multicolumn{1}{|l|}{$\allowbreak-0.476\,48$}\\
\multicolumn{1}{|l|}{$9.521$} & \multicolumn{1}{|l|}{$\allowbreak-0.391\,72$%
}\\
\multicolumn{1}{|l|}{$9.522$} & \multicolumn{1}{|l|}{$\allowbreak-0.306\,91$%
}\\
\multicolumn{1}{|l|}{$9.523$} & \multicolumn{1}{|l|}{$\allowbreak-0.222\,04$%
}\\
\multicolumn{1}{|l|}{$9.524$} & \multicolumn{1}{|l|}{$\allowbreak-0.137\,1$%
}\\\hline\hline
\multicolumn{1}{||l|}{$9.525$} & \multicolumn{1}{|l||}{$\allowbreak
-5.\,\allowbreak211\,2\times10^{-2}$}\\
\multicolumn{1}{||l|}{$9.526$} & \multicolumn{1}{|l||}{$\allowbreak
3.\,\allowbreak294\,1\times10^{-2}$}\\\hline\hline
\multicolumn{1}{|l|}{$9.527$} & \multicolumn{1}{|l|}{$\allowbreak0.118\,05$}\\
\multicolumn{1}{|l|}{$9.528$} & \multicolumn{1}{|l|}{$\allowbreak0.203\,23$}\\
\multicolumn{1}{|l|}{$9.529$} & \multicolumn{1}{|l|}{$\allowbreak0.288\,46$%
}\\\hline
\end{tabular}
}\\
&  & \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{} &  &  & \multicolumn{1}{c}{}%
\\
D'o\`{u}: &  & \multicolumn{1}{c}{\underline{$6.324<\alpha<6.325$}} &
\multicolumn{1}{c}{} & et &  & \multicolumn{1}{c}{\underline{$9.525<\beta
<9.526$}$.$}%
\end{tabular}

\begin{claim}
\textbf{Le problème de la feuille}\\
On peut commencer par remaquer que les contraintes de la réalité imposent que $0\leq x\leq 7,5$.\\
De plus la base de la boite a pour dimensions $(20-2x)$ et $(15-2x)$ et a pour hauteur $x$. Le volume de la boite est donc :\vspace{3mm}\\
  $\fbox{$V(x)=(15-2x)(20-2x)x$}=u(x)v(x)$\quad avec \quad
  \begin{tabular}[t]{lll}
    $u(x)=15-2x$ &donc&$u'(x)=-2$\\
    $v(x)=(20-2x)x$ &donc&$v'(x)=-2x+20-2x=20-4x$\\
  \end{tabular}
Ainsi :
\begin{eqnarray*}
  V'(x)&=&-2(20-2x)x+(15-2x)(20-4x)\\
       &=&-40x+4x^2+300-60x-40x+8x^2\\
       &=&\fbox{$12x^2-140x+300$}.\\
\end{eqnarray*}
Or :
\begin{eqnarray*}
  12x^2-140x+300\geq0&\Leftrightarrow& 3x^2-35x+75\geq0\quad\text{de discriminant $\Delta=35^2-4\times 3\times 75=325=\left(5\sqrt{13}\right)^2$}\\
  &\Leftrightarrow& x\in\left]-\infty\,;\,x_1\right]\cup\left[x_2\,;\,+\infty\right[\quad\text{où}\quad x_1=\frac{35-5\sqrt{13}}{6}\simeq\nombre{2,829}\quad;\quad x_2=\frac{35+5\sqrt{13}}{6}\simeq\nombre{8.838}
\end{eqnarray*}
Comme $x\in\left[0\,;\,7,5\right]$, le tableau des variations de $V$ est le suivant :

$$
\begin{tabular}[c]{c|c|ccc|ccc|c}
$x$     &   \multicolumn{2}{c}{\makebox[0cm][c]{$0$}}    &   & \multicolumn{2}{c}{\makebox[0cm][c]{$\frac{35-5\sqrt{13}}{6}$}} & & \multicolumn{2}{c}{\makebox[0cm][c]{$7,5$}}\\\hline
       &            &                                    &   &          &                                                    & &   & \\
$V'(x)$&            &                                    &$+$& \multicolumn{2}{c}{$0$}                                       &$-$&   & \\
       &            &                                    &   &          &                                                    &   &   & \\\hline
       &            &                                    &   & \multicolumn{2}{c}{\makebox[0cm][c]{$V_m$}}                     &   &   & \\
$V$    &            &                                    &\cro&\multicolumn{2}{c}{}                                          &$\dec$& & \\
       &   \multicolumn{2}{c}{\makebox[0cm][c]{$0$}}     &   & \multicolumn{2}{c}{}                                           &   &  \multicolumn{2}{c}{\makebox[0cm][c]{$0$}}
\end{tabular}
$$
Ce qui nous permet de conclure que le volume de la boite est maximal pour $x=\frac{35-5\sqrt{13}}{6}\simeq\nombre{2,829}$.

\end{claim}


\end{document}